三角形式 指数形式 5.波形对称性与谐波特性的关系
对称性 偶函数f(t)?f(?t) 奇函数f(t)??f(?t) 半波像对称（奇谐函数） Tf(t)??f(t?) 2半周期重叠（偶谐函数Tf(t)?f(t?) 2E?f(t)?T2T内瓣内含二.非周期信号的傅里叶变换（备注）
备注序号 1 △说明内容 ???1j?t?j??j?tF(?)ed??[f(?)ed?]ed? 证明：f1(t)?12?????????2?2 △ ?n?1周期信号的傅里叶级数 信号集的正交性 f(t)?a0??(ancosn?t?bnsinn?t) ?1a?f(t)dt?0Tt0?2t0?T?f(t)cosn?tdt ?an?tT0??2t0?Tf(t)sinn?tdt?bn?tT0??t0?T?t0?Tt0t0?Tcosn?tsinm?tdt?0所有m,n???Tm?n? ?t0cosn?tcosm?tdt??2??0m?n?Tt0?Tm?n?sinn?tsinm?tdt??2?t0??0m?nf(t)?Fne?n????jn?t 1t0?TFn??f(t)e?jn?tdt Tt0?t0?Tt0ejn?t?e?jm?t?Tn?mdt?? 0n?m?傅里叶级数中所含分量 只有余弦项，可能含直流 只有正弦项 余弦分量系数an 正弦分量系数bn 4Tan??2f(t)cos(n?t)dt T0an?0 ?0?an??4T2??0f(t)cos(n?t)dt?Tn?0,2,4,???n?1,3,5,???bn?0 4Tbn??2f(t)sin(n?t)dt T0?0?bn??4T2??0f(t)sin(n?t)dt?Tn?0,2,4,???n?1,3,5,???只有偶次谐波，可能含直流 ?0?an??4T2??0f(t)cos(n?t)dt?Tn?1,3,5,??? ?0?bn??4T2n?0,2,4,?????0f(t)sin(n?t)dt?Tn?1,3,5,???n?0,2,4,???只有奇次谐波 6.周期矩形脉冲信号
n??jn?t Sa()e ?2n????
??1条谱线
7.线性时不变系统对周期信号的响应
一般周期信号：f(t)?系统的输出 ：y(t)?n??????Fnejn?t
jn?tn????FH(jn?t)en
??? ???????t关键交换积分次序???f2(?)[???e?j?(t??)d?]ed??j?t???f(?)?(t??)d??f(t) 22?1求sgn(t) 解：由eu(t)???j?11?2j???2 (??0) ?eu(t)?eu(?t)?2??j???j??????t?t e?tu(?t)?3 △1??j?(??0) sgn(t)?lim[e??tu(t)?e?tu(?t)]?lim??0?2j?2? ??0?2??2j??1j?t证明：f(t)?F(?)ed? ?2????1?j?t f(t)?F(?)ed? ???2??????替换???，t????1?j???j?tf(t)?F(?)ed??2?f(??)?F(t)edt ????2???4 △5 △证明：f(t?t0)????f(t?t0)ej?t0??j?tdt?????0f(?)e?j?(??t)d? (令t?t0??) 0 ?e?????f(?)e?j??d??ej?tF(?) dn1.nf(t)?(j?)nF(?) dtd12.证明：f(t)?dt2??dF(?)[ej?t]d????dt????j?F(?)ej?td??j?F(?) △7 △6 用法：信号可以分解成两个信号，其中之一的频谱是冲激或冲激串使用 1. 注意：要避免出现?(?)??(?)及1?(?)等不确定的的乘积关系，如求u(t)?u(t)不能用卷积定理，可先求出j?u(t)?u(t)?tu(t)，再用频域微分特性。 2. 证明：?f(?)d??f(t)?u(t) 而u(t)???(?)???t1 j? 则?备 注 t??1F(?)f(?)d??f(t)?u(t)?F(?)?[??(?)?]???F(0)?(?) j?j?二.非周期信号的傅里叶变换 1.连续傅里叶变换性质
连续傅里叶变换性质及其对偶关系 傅氏变换 ：F(?)?????f(t)e?j?tdt 1?j?t 傅氏反变换：f(t)?F(?)ed? ?2???连续傅里叶变换对 名称 唯 一 性 线 性 尺度比例变换 对 称 性 时 移 时域微分性质 连续时间函f(t) 傅里叶变换F(?) FT[f1(t)]?FT[f2(t)]?F(?) 相对偶的连续傅里叶变换对 备注 1 △ 名称 连续时间函数f(t) 傅里叶变换F(?) 备注 6 △f1(t)?f2(t) ?f1(t)??f2(t) f(at),a?0 F(jt) ?F1(?)??F2(?) 1?F() aa2?f(??) f(t?t0) df(t) dtF(?)e?j?t0 j?F(?) 2 △ 3 △4 频 移 △5 频域微分性质 △f(t)ej?0t ?jtf(t) F(???0) dF(?) d?时域积分性质 ?t??f(?)d? F(?)??F(0)?(?) j?F(?)H(?) F(??) 频域积分性质 f(t)??f(0)?(t) ?jtf(t)p(t) f(t)是实函数 ????F(?)d? 7 △ 时域卷积性质 f(t)*h(t) f(?t) 频域卷积性质 1F(?)*P(?) 2?对 称 性 f*(t) F*(??) F(?) F(?)?R(?)?jI(?)* 奇偶虚实性质 fo(t)?Od?f(t)?fe(t)?Ev?f(t)? jIm?F(?)? Re?F(?)? f(?t) *希尔伯特变换 f(t)?f(t)u(t) R(?)?I(?)*1 ?? 时 域 抽 样 f(t)??(t?nT) n?????1??2?F(??k) ?Tk???T 频 域 抽 样 1?0n??????f(t?n2??0) F(?)??(??k?0)k????? 帕什瓦尔公式 ????1f(t)dt?2?2??????F(?)d? F(?)：能量谱密度、能量谱 22 F(0)????f(t)dt （条件：limf(t)?0 ） t???中心纵坐标 1f(0)?2??????F(?)d? （条件：limF(?)?0） ???? 2.常用傅里叶变换对
常用的连续傅里叶变换对及其对偶关系 ?? F(?)????1?j?tf(t)edt f(t)?2??????F(?)ej?td? 连续傅里叶变换对 重要 √ √ √ 连续时间函数f(t) 傅里叶变换F(?) 1 j? 相对偶的连续傅里叶变换对 连续时间函数f(t) 1 傅里叶变换F(?) 重要 √ ?(t) d?(t) dtu(t) tu(t) 2??(?) t j2?d?(?) d?u(?) 1???(?) j?d1j??(?)?2 d??t?0 t?011 ?(t)?2j2?t √ √ ?1,sgn(t)????1,2 j?e?j?t0 1?,t?0 ej?0t ??j,F(?)???j,??0 ??0 √ √ ?(t?t0) cos?0t sin?0t 2??(???0) 2cos?t0 j2sin?t0 ??1,F(?)????0,?[?(???0)??(???0)] j?[?(???0)??(???0)] t??t?? ?(t?t0)??(t?t0) ?(t?t0)??(t?t0) W??1,G?(t)????0,?Sa(??2) ?Sa(Wt) ??W??W √ ??1?t?,t????(t)?? 0,t?????Sa2(??2) WWtSa2() 2?2??1??W,??WF(?)?? 0,??W?? √ √ √ √ √ √ e?atu(t),Re{a}?0 e?at1 a?j?2a 22??aa?j? 22(a?j?)??01 ??jt2?e???u(?),??0 ,Re{a}?0 ?t2??2 ?e???,??0 e?atcos?0tu(t),Re{a}?0 e?atsin?0tu(t),Re{a}?0 te?atu(t),Re{a}?0 tk?1e?atu(t),Re{a}?0 (k?1)!?0 22(a?j?)??01 2(a?j?)1 k(a?j?)2?T2??(??k) ?Tk?????1,??0 2(??jt) ]2??e???u(?) ?T(t)?l?????(t?lT) t?()2??e[u(t?? ?2)]cos?0t ?2????e[Sa(???0)?2?(??2)2 ?2)?u(t??Sa(???0)?2 k????Fek??jk?0t 2?k????F?(??k?) k0四.无失真传输
1.输入信号f(t)与输出信号yf(t)的关系 时域： yf(t)?kf(t?td)
3. 信号的滤波：
通过系统后 ○1产生“预定”失真
2改变一个信号所含频率分量大小 ○
3全部滤除某些频率分量 ○
频域：Yf(?)?ke?j?tF(?)
d2.无失真传输系统函数H(?) H(?)?Yf(?)F(?)?ke?j?td
4.理想低通滤波器不存在理由：
单位冲击响应信号?(t)是在t?0时刻加入滤波器 的，而输出在t?0时刻就有了，违反了因果律 5.连续时间系统实现的准则
时 域 特 性 ： h(t)?h(t)u(t)（因果条件） 频 域 特 性 ：
无失真传输满足的两个条件：
1幅频特性：H(?)?k （k为非零常数） ○
在整个频率范围内为非零常数 ○2相频特性：?(?)???td （ td?0 ）
在整个频率范围内是过坐标原点的一条斜率为负的直
线
????H(?)d???
H(?)d??? 21??22 佩利-维纳准则（必要条件）：????五.滤波
滤波器名称 理想频率响应 理想相幅特性 实际电路图 实际频率特性 H(?)?低通滤波器 ?j?t??edH(?)????0???c?G2?(?)e?j?t ???cdc1 1?j?RC11?( H(?)??2)?c ??(?)??arctan ?cj?RC H(?)?1?j?RC高通滤波器 ?j?t??edH(?)????0???c?[1?G2?(?)]e?j?t ???cdc H(?)??RC1??RC222 ?(?)?arctan(1) ?RC带通滤波器 H(?)?H1(?)?[?(???0)??(???0)] j?RC H(?)?2LC(j?)?RC(j?)?1备 注 1低通滤波器的通频带（截至频率）：H(?)?的频频谱范围 22三.抽样与抽样恢复
抽样名称 ?信号抽样时频表示 时域抽样定理： 为了使抽样信号必须满fs(t)能恢复信号f(t)，时域：fs(t)?f(t)??T(t)?f(t)??(t?nT) n???=?f(nT)?(t?nT) 冲激串抽样 n????足来那两个条件： 1.f(t)是带限信号，带宽为?m（或fm） 2.抽样频率?s?2?m或者抽样间隔1?Ts?? 2fm?m频域：Fs(?)?1FT[f(t)]?FT[?T(t)] 2?11??F(?)???(?)??F(??n?) 2?Tn??? 时域：fs(t)?f(t)PT(t) 频域：Fs(?)?脉冲串抽样 1FT[f(t)]?FT[PT(t)] 2??1n??1??F(?)????Sa()?(??n?)??F(??n?) 2?2Tn???n????n????T??Sa(n??)F(??n?) 2恢复系统单位冲激响应： ?恢复：fs(t)?h(t)?[?f(nT)?(t?nT)]?时域抽样定理 ?n???T?c?Sa(?ct) h(t)?FT?1[TG2?c(?)]?系统条件 Tc??Sa(?ct) T?c?n?????f(nT)Sa[?c(t?nT)]?(t) ?T1H(?)??○?02?○m???c ???c??c????m 频域：Fs(?)?F(?)???(?)?F(?)?频域抽样定理 ?1n????1??(??n?) ??1?2?时域：fs(t)?FT[Fs(?)]?h(t)?FT[??(??n?)]??f(t?n) ?n????n???