√ √ √ √ √ √ √ tu(t) 1s2，Re{s}?0 ?tu(?t)，Re{s}?0 (n?1)u[n] ?u[?n?1] 1(1?z?1)，z?1 2√ √ √ √ ?u(?t) ?tu(?t) tk?1?u(?t) (k?1)!1(1?z?1)，z?1 1(1?z?1)，z?1 1(1?z?1)，z?1 k1s2，Re{s}?0 1,Re{s}?0 ks1,Re{s}?Re(?a) s?a??(n?1)u[?n?1] (n?k?1)!n!(k?1)!n2u[?n?1] e?atu(t) te?atu(t) tk?1?ateu(t) (k?1)!au[n] 1(1?az?1)，z?a 1(1?az?1)，z?a 1(1?az?1)，z?a k21,Re{s}?Re(?a) 2(s?a)1,Re{s}?Re(?a) k(s?a)1,Re{s}?Re(?a) s?as，Re{s}?0 22s??0(n?1)anu[n] (n?k?1)!nau[n] n!(k?1)!?anu[?n?1] cos?0nu[n] sin?0nu[n] ?eu(?t) cos?0tu(t) sin?0tu(t) ?at1(1?az?1), z?a 1?(cos?0)z?1 ?1?21?(2cos?0)z?z(sin?0)z?1 ?1?21?(2cos?0)z?z1?(acos?0)z?1 ?1?21?(2acos?0)z?z(asin?0)z?1 ?1?21?(2acos?0)z?z(a?a)z?1?1?1?0，Re{s}?0 22s??0s(s?a)??022ecos?0tu(t) ?at，Re{s}??a ，Re{s}??a acos?0nu[n] asin?0nu[n] an，a?1 nnesin?0tu(t) ?at?02(s?a)??02e?at，Re{a}?0 ?2as?a2ss?a2222Re{a}?Re{s}?Re{?a} ，(1?az)(1?az)1?z?1?2?1?1，a，a?z?1a Re{a}?0 e?atsgn(t)，Re{a}?Re{s}?Re{?a} ，ansgn[n]，a?1 (1?az)(1?az)?1?1?z?1a 5.复频域分析
1拉氏变换及求解微分方程的三步法： 1. 对微分方程逐项取拉式变换，利用微分性质，待遇初始值。 2. 对拉氏变换方程进行代数运算，求出相应的象函数 3. 对响应的象函数进行拉氏反变换，得到全响应的是与表达式 2.电源 2电路系统的分析 1.基尔霍夫定律：对任意节点，在任意时刻流入流出节点电流的代数和恒为零
6.拉氏变换和傅氏变换的关系
1 2.单边拉氏变换和傅氏变换的关系 F(s)??f(t)e?stdt ???c 0?F(?)??f(t)e?j?tdt ???1?○2?○3?○c?0时，傅氏变换不存在，F(?)和F(s)不能互换 ?0时，F(?)?F(s)s?j? ?0时，拉氏和傅氏变换均存在，但拉氏变换中有冲激函数和各cc阶导数项 F(s)在j?轴上有单值极点 NA(s)KiF(s)??Fa(s)?? Fa(s)为极点在左半平面的部分分式和 B(s)i?1s?j?iF(?)?F(s)s?j????Ki?(???i) i?1N总结： 任何有傅氏函数变换的有始信号，必然存在拉氏变换 存在拉氏变换的任何有时信号，不一定有傅氏变换
第七章.Z变换
一.Z变换的定义
n????[x(n)e????n]?ej?n??????x(n)z?n?X(z)
n???令e??j??z? X(z)?n????x(n)z?n
二.Z变换和傅氏变换及拉氏变换的关系 1.拉氏变换与傅氏变换的关系 X(z)z?ej??X(ej?)?X(?) 2.Z变换与拉氏变换的关系 ?Xs(s)s?1lnz?X(z)?T ???X(z)z?esT?Xs(s)3.Z平面与s平面的映射关系 ???0?r?1 ○1s平面的原点?，影射z平面?，即z?1的点 ???0???1 ○2?不同取值的zs平面影射关系 ??0 虚轴 r?1 s平面 ??0 左半平面 ??0 右半平面 r?1 ?为常数：????? 从左向右移 z平面 r?1 r为常数：0??? 半径扩大 单位圆内 单位圆上 单位圆外 时域序列和z变换收敛域的对应关系 ： ○3s平面??0，实轴?z平面??0，正实轴 ○4zs影射不是单值的 2? H(z)z?ej??H(ej?) 其中???T??s???2??? ?s ○5傅氏变换、拉氏变换和z变换的关系 z 变换收敛域 时域序列 n?0 n?0 不包括z?0，但包括? 包括z?0，但包括? n1?n?n2 不包括z?0和z?? 三.Z反变换
围线积分与极点留数法 x(n)?12?j?cX(z)zn?1dz 围线c是在X(z)的收敛域内环绕z平面原点逆时针旋转的一条封闭曲线
x(n)??[X(z)?zn?1在围线c内的极点上的留数] z0是一阶极点： Res[X(z)?zn?1]?[X(z)?zn?1](z?z0)z?z0
s?1?1dn?1n?1s? z0是s阶极点：Res[X(z)?z]??s?1[X(z)?z(z?z1)]? (s?1)!?dz?z?z1 n?0时， x(n)?1?n?1X()pdp '?c2?jp1
四.由零极点图确定傅氏变换的几何求值法
X(z)??(z?q)rM?(z?z)kk?1r?1N 当z?1时，即z?ej?时
X(e)?j??(er?1Nk?1Mj??qr)=X(e)ej?j?(?)j?(e??zk)?ej??qr?Arej?r 令?j? j?k?e?zk?Bke于是X(e)?j??A?Bk?1r?1NMr ?(?)???r???k
r?1k?1MNk注意：1在z?0处加入或除去零点，不会使幅度特性发生变化，而只影响相位变化。
2当ej?点旋转到某极点zi附近时，如果矢量长度Bi变短，则频率特性在该点处可能出现峰值。若极点 zi愈靠近单位圆，Bi愈短，则频率特性在峰值附近愈尖锐，如果落在单位圆上，则频率特性的峰值
趋近于无穷大
五.Z变换性质
Z变换性质及其对偶关系 Z变换：X(z)?n????n x(n)z?? 傅氏反变换：x(n)?z变换对 2?j?c1X(z)zn?1dz 相对偶的z变换对 名称 线 性 离散时间函数x(n) ax(n)?by(n) z变换F(z) aX(z)?bY(z) 备注 名称 离散时间函数 z变换F(z) 备注 △1收敛域rx1?z?rx2ry1?z?ry2收敛域r1 ?z?r2 r1?max(rx1,rx2)r2?min(ry1,ry2)anx(n) 尺度比例变换 收敛域：rx1ZX() a收敛域：rx1?z?rx2 ?z?rx2 a2 △Z域尺度变换 时 移 x(n?n0) 收敛域：rx1z?n0X(z) 收敛域：rx1?z?rx2 ?z?rx2 3 △ Z 频 移 ej?0nx(n) 收敛域：rx1X(e?j?0z) 收敛域：rx1?z?rx2 ?z?rx2 4 △5 △ 时域微分性质 时域卷积性质 Z域微分性质 Z域卷积性质 nx(n) ?zdX(z) dzx(n)*h(n) 若x(n)是因果序列，则 X(z)H(z) x(n)h(n) z?1X()H(v)vdv ?c2?j1v1若x(n)是因果序列，且其Z变换除在z?1处有一阶极点初值定理 x(0)?limx(n)?limX(z) n?0z?? 终值定理 外其它极点都在单位圆z?1以内，则 x(?)?limx(n)?lim[(z?1)X(z)] n??z?1Z变换性质备注
备注序号 备注内容 1 △2 △3 △注意：只有Z变换有零、极点被抵消，收敛域一定扩大 11ZZZ?X(),rx1??rx2 a?nx(n)???X(az),rx1?az?rx2 (?1)nx(n)???X(?z),rx1?z?rx2 (?1)nx(?n)??zzZ单边时移：若x(n)u(n)???X(z) Z?zm[X(z)??x(k)z?k] 则x(n?m)u(n)??k?0?1m?1ZT[x(n?1)u(n)]?zX(z)?zx(0)ZT[x(n?2)u(n)]?zX(z)?z2x(0)?zx(1)ZT[x(n?1)u(n)]?zX(z)?x(?1)?1 ?2?1ZT[x(n?2)u(n)]?zX(z)?zx(?1)?x(?2)?z[X(z)??x(k)z] x(n?m)u(n)??Z?m?kk??m4 △5 △
Zz0nx(n)???X(z),z0rx1?z?z0rx2 z02dX(z)dX(z)dmZZmn2x(n)???z2?z nx(n)???[]X(z) 2dzdzdz
六.系统函数H(z)的应用
1.根据系统函数H(z)零、极点分布情况，可分析单位样值响应2.系统的因果性、稳定性 h(n)的变化规律 极点位臵 单位圆上 h(n)的特点 等幅 系统特征 因果的 稳定的 因果、稳定的 H(z)的收敛域 收敛域位于最外面极点的外边 收敛域一定包括单位圆 全部极点位于单位圆以内 ??0时，z?1 单位圆内 单位圆外 z u(n)?z?1减幅 增幅 七．数字滤波器
?无限冲激响应IIR按单位样值响应h(n)的时间特性分类?
?有限冲激响应FIR第八章.系统函数与状态变量分析
一.零极点和系统稳定性、因果性
1.H(s)、H(z)收敛域及系统特点 极点 收敛域 H(s)的特点 收敛域内无H(s)的任何极点 H(z)的特点 收敛域内无H(z)的任何极点 收敛域是一些平行于虚轴的带状区域，该区域收敛域是在Z平面内以原点为中心的圆环，以极点为限 该圆环以极点为限 因果系统 H(s)的收敛域在S平面内最右边极点的右半H(z)的收敛域在Z平面内的最外面极点的开平面 外边 稳定系统 因果稳定系统 注意： H(s)的收敛域包含虚轴 H(s)的极点全部位于S平面的左半面 H(z)的收敛域包含单位圆 H(z)的极点全部位于单位圆内 极点确定了h(t)的时域波形，对h(t)的幅度和相位也有影响 零点只影响h(t)的幅度和相位，对h(t)的时域波形无影响 2.系统稳定性定义： 若输入f(t)?M，???t??，Mf为有限常数；则输出y(t)?My，???t??，Mf为有限常数 一个线性时不变系统，若它的单位冲激响应是绝对可积的，则系统一定是稳定的。 3.劳斯—霍尔维茨稳定性判据 系统特征方程为 a0sn?a1sn?1?a2sn?2?????an?1s?an?0 第1行anan?2第2行an?1an?3 第3行an?4an?5C2C3Ai?Ai?1Bi?2?Ai?2Bi?1Ai?11当阵列的第一列的元素符号变化相同（同为正或同为负），则特征方程的全部根位于左半平面，系统稳定。 2当阵列的第一列元素Ai出现零值 ○1用一个无穷小量?代替零 A2A3B2B3Ai?1Ci?2?Ai?2Ci?1B? i Ai?1Ci?Ai?1Di?2?Ai?2Di?1Ai?1第4行 12把特征方程中的换成 s○s