第五章.离散时间信号与时域分析
一.离散傅里叶级数（DFT） 1.信号ej?n基本特征
0信号ej?0n
周 期 性：ej?0(n?N)?ej?0n?基波频率：
?0m?时有理数时具有周期性 2?N2??0 ?Nm2?) ?0基波周期：N?m(
2.信号ej?0t与ej?0n之间的差别
ej?0t ej?0n 频率相差2?，信号相同 仅当???0不同，信号不同 对于任何?0值，都是周期的 基波频率：?0 2?m时，才有周期性（(N?0),m,均为整数）） N?0 m基波信号??0?0无定义?基波周期：?2? ??0?o?0???0?0无定义?基波信号：?2? m()??0?o?0? 3.DFS系数与IDFS变换对
2?N?1N?1?jk()n?knNDFS系数X(k)?x(n)e?x(n)W???N?n?0n?0 X(k)?2?N?1N?1jk()n1?kn?IDFS系数x(n)?1NX(k)e?X(k)W??N?NNn?0n?0?x(n)DFS
4.离散傅里叶级数的性质
线 性 若x3(n)?x1(n)?x2(n)，则X3(k)?X1(k)?X2(k) 移位 卷积 时间移位 若x(n)频域移位 若x(n)DFSX(k)，则x(n?m)DFSDFS?knWNX(k) DFS[x(n?lN)]?X(k) DFSX(k)，则Wx(n)123qnNX(k?q) 周期时域移位 若x3(n)??x(m)x(n?m)，则Xm?0N?1(k)?X1(k)X2(k) 1频域移位 若x3(n)?x1(n)x2(n)，则X3(k)?N?Xl?0N?11(l)X2(k?l) 二.离散时间傅里叶变换DTFT
1. 离散时间傅里叶变换DTFT
?x(n) ○1非周期信号：x(n)???0n?N1
n?N11?j?nx(n)?X(?)ed????2?2?? 离散时间傅里叶变换? 应用条件：?x(n)?? ?n????X(?)?1?x(n)e?j?n?Nn???? ○2周期信号：
2?X(?)??2?ak?(??k)
Nn????1ak?Nn??N1?x(n)eN1?jk(2?)nN
2.离散时间傅里叶变换性质
周 期 性 线 性 总是周期的，周期是2?。 若x1(n)?X1(?)，x2(n)?X2(?) X1(?)?bX2(?) 则ax1(n)?bx2(n)?aX(?)?X?(??) 对 称 性 ?Re[X(?)]偶函数 ??Im[X(?)]奇函数?X(?)的模偶函数 ??X(?)的相位奇函数移位 时 移 频 移 若x(n)若x(n)X(?) 则x(n?n0)X(?) 则ej?0nx(n)e?j?0nX(?) X(???0) 差 分 求 和 m????x(m)n?1X(?)??X(0)??(??2?k) j?1?ek???u(n)?1????(??2?k) j?1?ek???若x(n)时 间 尺 度 X(?) 则x(?n)X(??) ?n?x()n是k的倍数x(k)(n)??k x(k)(n)?n不是k的倍数?0X(k?) 频 域 微 分 nx(n)dX(?) jd?2帕塞瓦尔定理 n?????x(n)?12???2X(?)d? X(?)：能量谱密度 22122x(n)?a序列一个周期的能量：??k Nn??N?n??N?卷 积 性 质 若y(n)?x(n)?h(n) 则Y(?)?X(?)H(?) 连续信号 离散信号 备 注 周期?离散连续?非周期 非周期?连续离散?周期
第六章.连续时间信号与时域系统分析
一.拉氏变换定义
1.不满足绝对可积信号为什么不能用傅氏变换 原因：信号衰减太慢或不衰减 （为了克服这种困难，可以用一个收敛因子与f(t)相乘）。 2.拉氏变换的导出 FT[f(t)e??t]??f(t)e?????t?e?j?tdt??f(t)e?(??j?)tdt ???? 令s???j? 则：象函数：F(s)?LT[f(t)]??f(t)e?stdt ?? 原函数：f(t)?LT[F(s)]??12?j???j?1??j?F(s)estds 3.拉氏变换的收敛域 F(s)存在的条件：??f(t)e?stdt?? 0? limf(t)e??t?0（充分条件） t??信号特点 有始有终，能量有限 收敛域特点 坐标轴落于??，全部s平面都属于收敛区 幅度即不增长也不衰减而等于稳定收敛坐标落于原点，s平面右半平面属于收敛区 值，或随时间t,tn成比例增长的信号 按指数规律增长的信号e?t， 右边信号 左边信号 双边信号 只有当???时才收敛，所以收敛坐标为?0?? 收敛域在收敛轴以右的s平面，即??? 收敛域在收敛轴以左的s平面，即??? 收敛域为s平面的带状区域，即????? 二.拉氏反变换
部分分式展开法 K1pK11K12F1(s)????????F2(s) pp?1(s?s1)(s?s1)(s?s1)K11?(s?s1)pF1(s)K12?s?s1d[(s?s1)pF1(s)]s?s1ds 1di?1pK11?[(s?s)F1(s)]s?s11i?1(i?1)!ds留数法 1s?pi一阶级点的留数 Res[F(s)est]?[(s?pi)F(s)?est]s?pi 1dk?1[k?1(s?pi)F(s)?est]s?pi 2s?pi是k阶极点 Res[F(s)e]?(k?1)!dsst注意：留数法中的F(s)应是真分式，若不是应用长除法变成真分式后再用留数法。
三.拉氏变换的性质 1.拉氏变换的性质
连续拉普拉斯变换性质及其对偶关系 拉氏变换 ：F(s)????1?f(t)e??tdt ??j? 傅氏反变换：f(t)?2?j???j?F(s)estds 相对偶的连续拉普拉斯变换对 备注 名称 连续时间函数f(t) 拉氏变换F(s) 备注 连续拉普拉斯变换对 名称 线 性 连续时间函数f(t) 拉氏变换F(s) ?f1(t)??f2(t) 收敛域??F1(s)??F2(s) 收敛域为函数收敛域重叠部分 ??1,???2 f(at),a?0 尺度比例变换 收敛域：?1sF() aa收敛域：???c ?a?c,a?0 1 △ 时 移 f(t?t0)u(t?t0) 收敛域：?F(s)e?st0 收敛域：???c ??c ?2 △3 △5 △f(t)es0t 复 频 移 收敛域：?F(s?s0) 收敛域：? 4 △??c ??0??c 时域微分性质 df(t) dtsF(s)?f(0) F(s)f?1(0?) ?ss(?1)s域微分性质 ?tf(t) dF(s) ds?时域积分性质 ?t??f(?)d? 其中s域积分性质 f(0)???0?f(t) t?1sF(s1)ds1 ??f(t)dt 时域卷积性质 初值定理 f(t)*h(t) F(s)H(s) 6 △s域卷积性质 终值定理 f(t)p(t) 2?jt??s?0F(s)*P(s) 6 △f(0?)?limf(t)?limsF(s) t?0?s??f(?)?limf(t)?limsF(s) 2.拉氏变换的性质备注
备注序号 备注内容 △1 st01s?a1. 既有时移又有尺度变换：f(at?t0)u(at?t0)?F()e,???c aa既有时移又有复频移：e?s0(t?t0)f(t?t0)u(t?t0)?e?s0tF(s?s0) 2. 证明：LT[e?s0(t?t0)f(t?t0)u(t?t0)]??e?s0(t?t0)f(t?t0)e?stdt t0?令：x?t?t0,dx?dt 则：LT[e?s0(t?t0)f(t?t0)u(t?t0)]???e0??s0xf(x)ee?sx?st0dt?e ?st0??0?f(x)e?(s?s0)xdt?e?st0F(s?s0) △△△△2 注意：时移特性只适于求f(t?t0)u(t?t0)的拉式变换 右边信号可写作f?(t)??f0(t?nT)u(t?nT)，其中f0(t)?u(t)?u(t?t0) n?0?3 dnf(t)nn?1?n?2'?(n?1)??sF(s)?sf(0)?sf(0)?????f(0) ndt4 dnF(s)1.(?t)f(t)? ndsn2.证明：F(s)???f(t)edt 0??stF(s)???f(t)edt???00tt0????st??d?stf(t)[e]dt???[?tf(t)]e?stdt?LT[?tf(t)] 0ds0?5 证明：?t??f(x)dx??0?0???f(x)dx???f(x)dx ?LT[?f(x)dx]?LT[???f(x)dx]?LT[??f(x)dx] 0tt?t1(?1)?1 LT[?f(x)dx]?f(0) LT[??f(x)dx]???[??f(x)dx]e?stdt?0?F(s) ??000ss11 ?LT[?f(x)dx]?F(s)?f(?1)(0?) ??sst注意：LT[?t01f(x)dx]?F(s) s??tt100????tn?10f(x)dxdtn?1???dt1?1F(s) ns△6 1. 注意1F(s)必须是真分式 ，如果不是要利用长除法变成真分式项F0(s)，再利用初值定理。 2初值定理是f(x)在t?0?时刻的值。 0?df(t)?df(t)df(t)?st?st2. 证明：sF(s)?f(0)???edt???edt???e?stdt 000dtdtdt?? 在区间(0?,0?),t?0,?e?st?0?t?0?1 ?sF(s)?f(0)?f(t)0??df(t)df(t)?st?????edt?f(0)?f(0)???e?stdt 00dtdt? 令s??，则f(0?)?limsF(s) s??△7 1. 终值定理存在条件：F(s)的极点全部落在左半s平面或在s?0处只有一阶级点。 2. 证明：sF(s)?f(0)???0???df(t)?stedt 令s?0 dt?则?limsF(s)?f(0)?lim??s?0s?00df(t)?stedt?f(?)?f(0?) ?f(?)?limsF(s) s?0dt3.双边拉氏变换
1.收敛条件：t?? 则拉氏变换在?1????2区域上存在。 ??tlimf(t)e?0???2t??limf(t)e??t?0???1 相同的双边拉式变换式，当取不同的收敛域时，其f(t)是各异的。 2.双边拉式变换的求法 f(t)?f1(t)?f2(t)?f(t)u(t)?f(t)u(?t) 对上进行双边拉氏变换 FB(s)??f(t)u(?t)edt??f(t)u(t)e?stdt?FB(s)?FB(s)?F1(?s)?F2(s) ?1?????2 ??0120?st?????2???13. 双边拉氏反变换 留数法f(t)?2?j???j?1??j?st??[对?的右边F(s)e极点的留数],t?0??Bst F(s)eds??st???[对?的右边FB(s)e极点的留数],t?0注意：F(s)应该是真分数
4.双边拉氏变换对与双边Z变换对
双边拉氏变换对与双边Z变换对的类比关系 F(s)??????f(t)e?stdt F(z)?n??????f[n]z?n 双边拉氏变换对 重要 连续时间函数f(t) √ √ 像函数F(s)和收敛域 1,整个s平面 sk，有限s平面 双边Z变换对 离散时间序列f[n] 像函数F(z)和收敛域 1，整个Z平面 重要 √ √ ?(t) ?[n] ?k?[n] u[n] ?（k）(t) u(t) (1?z?1)k，z?0 1(1?z?1)，z?1 1s，Re{s}?0