习题一 广义积分，定积分的几何应用
一、选择题
1. B 2. C 3. D 二、填空题
1． ?1， >1 ,11； ?1， <1 ，2.1??1??
?，6，(r?1).
三、计算题
1．判断下列反常积分是否收敛，若收敛计算其值
??(1)
?e??1x2dx (2)?dx 1001xln2x?1?x?解：原式????e2??(1?x)?2(1?x)?11dx dlnx 解：原式??10021lnx?1?x???1lnx??e?1 ??(1??1?1?x?98?2?1?x?99?1?1?x?100)d(1?x)
?(111??)2?97 979899?4(3)
?111?x0dx (4)
?lnxdx
01解：原式???101d(1?x) 解：原式?x(lnx?1)10 1?x??2(1?x)1210?2 ??1
?lnlnx??2 k?1????11???dlnx2．解：? dx?1?2(lnx)k1?k??2x(lnx)k(lnx)2 k?1?1?k??发散 k?1? ??ln1?k2 k?1??k?1?(ln2)1?xlnln2?(x?1)?(ln2)1?x(ln2)1?x令f(x)?，则f?(x)?
x?1(x?1)2x?1?111为驻点，且1?x?1?时，f?(x)?0；x?1?时，f?(x)?0， lnln2lnln2lnln2??(ln2)1?k11所以k?1?时，?取得最小值。 dx?2lnln2k?1x(lnx)k3. 解：
???0x2e?2xdx?242?01??(2x)32 33?122?2x2ed2x2?232? ?()=82164．解：S??1?3(3?x2?2x)dx?5．解：曲线y?lnx在(x0,lnx0)点处的切线为y?lnx0?1(x?x0)，则过原点的切线为x01xy?lne?(x?e)，即y?
eeexe故S??(?lnx)dx?
0e22116．解：S??(x??2)dx?ln2?
1x28164?227．解：V???[2?(y3)]dy?
058．解：V?2?
?10(2?x?x)dx?24352? 21习题二 微分方程的基本概念，一阶微分方程
一、单项选择题
1． C 2． C 3． D 4．D
二、填空题
1． 导数或微分 ， 常。 2． 3。 3． 阶 。4． 初始 。 5． y?Ce?x?xe?x。*6．12y。
22三、计算题
1．求下列微分方程的通解：
（1）xy??2y?0 （2）1?x2y??1?y2
解：y??2dydxy?0 解： ?22x1?y1?x2??dxxy?Ce??Cx2
?dy1?y2??dx1?x2 arcsin?y（3）
arscin?x Cdy4x?3y （4）y??2xy?6x ??dxx?yydyx 解：y?e???2xdx(6xe??2xdxdx?c) 解：???ydx1?xydydux?u?x令?u，则 y?? 3?Cexdxdxdu4?3u??即u?x dx1?u4?32u?1dxdu?? 2(u?2)x故通解为ln(y?2x)?x?C?0 y?2x（5）
dyydy??6x （6）?2xy?xy2 dxxdx1??dxx1?dx1dy1??2x?x (?6xexdx?c) 解：2ydxy?解：y?ey?x(6x?C) 令
1du1dy?u，则??2 ydxydxdu?2xu??x dx
11?u???Ce?x y222．求下列微分方程满足所给初始条件的特解：
（1）解：e?ydy?exdx
ex?ey?C，又yx?0?0，则C?2，故特解为ex?ey?2
（2）解：
??1dy?1dydx?x?y2，则x?e?(?y2e?dy?C) dyx??y2?2y?2?Cey，又xy?0?1，则C?3，故特解为x??y2?2y?2?3ey
??dx1C?dx（3）解：y??y?2，则y?ex(?2exdx?C)，故y?x?，
xx11又yx?1?2，则C?1，特解为y?x?3．
1 x解：设所求曲线方程为y?f(x)，那么y??2x?y，且f(0)?0，
??1dx?1dx由y??y?2x得y?e?(2xe?dx?C)，即y??2x?2?Cex
?又x?0时，y?0，故C?2，所以y??2x?2?2ex 4.设f(x)可微且满足关系式
?[2f(t)?1]dt?f(x)?1，求f(x).
0x2x解：方程两边同时求导，得2f(x)?1?f?(x)，解之，f(x)?Ce?1 2又
?00[2f(t)?1]dt?f(0)?1，即f(0)?1故C?111，那么f(x)?e2x?
222 习题三 可降阶的二阶微分方程，二阶常系数线性微分方程
一、选择题
1． A 2． D
二、填空题
1．y?C1ex?C2xex。2．y?x4?C1x2?C2x?C3。
4 3．y?c1ex?c2xex?x?2?xexlnx。 4． y*?(ax?b)ex 5． y*?acosx?bsinx
223二、求解题
1．求微分方程的通解。
(1)y???xe?x (2) y???y??x
解：?y??dx??xe?xdx 解：令y??p，则y???p?，即p??p?x
?x??ep?y???xe?x?e?x?C1 e?xpxx?e?y?dx??(?xe?x?e?C1)dx ep??(x?1)e?C1
?x?x?x
?ep???xe?x?x
xy???x?1?C1e
y?xe?x?2e?x?C1x?C2 y??
2 求下列方程满足条件的特解 (1)y????eaxy(0)?y?(0)?y??(0)?0
12x?x?C1ex?C2 21axe?C1x2?C2x?C3，又y(0)?y?(0)?y??(0)?0 3a11111211,C2??2,C3??3，那么y?3eax?x?2x?3 故C1??2aaaa2aaa解：y????eaxdxdxdx?(2)y???25y?50，y(0)?5，y?(0)??5
解法一：所给微分方程对应的齐次方程的特征方程为r2?25?0，特征根r1,2??5i， 由于???i?0不是特征方程的根，故设特解为y*?b，代入原非齐次方程得b?2， 于是原非齐次方程的通解为y?C1cos5x?C2sin5x?2，又y(0)?5，y?(0)??5 则原非齐次方程的特解为y?3cos5x?sin5x?2 解法二：令y??p，则y???dpdydpdp???p，故?p?25y?50，p2?25(4y?y2)?C1 dydxdydy又y(0)?5，y?(0)??5，那么C1?150，y??p??25(4y?y2)?150 所以arcsiny?23??5x?C，又y(0)?5，则C?arcsin， 1010y?23??5x?arcsin，可化简为y?3cos5x?sin5x?2 1010特解为arcsin3．求下列微分方程的通解：
(1)y???4y??0 (2)y???12y'?36y?0
解：所给齐次方程的特征方程为 解：所给齐次方程的特征方程为
r2?4r?0，特征根r1?0,r2?4 r2?12r?36?0，特征根r1?r2??6
于是通解为y?C1?C2e4x 于是通解为y?C1e?6x?C2xe?6x (3)y???4y'?5y?0 (4)*y????y'?0
解：所给齐次方程的特征方程为 解：所给齐次方程的特征方程为
r2?4r?5?0，特征根r1,2??2?i r3?r?0，特征根r1?0,r2,3??i