于是通解为y?C1e?2xcosx?C2e?2xsinx 于是通解为y?C1?C2cosx?C3sinx (5)y???2y'?3y?3x2?1 (6)2y???y??y?2ex
解：所给微分方程对应的齐次方程 解：所给微分方程对应的齐次方程的 的特征方程为r2?2r?3?0， 特征方程为2r2?r?1?0， 特征根r1?1,r2??3 特征根r1??1,r2?1x21 2于是对应的齐次方程通解为 于是对应的齐次方程通解为
y?C1e?C2ex?3x y?C1e?x?C2e
由于??0不是特征根， 由于??1不是特征根，
2xy*?ax?bx?cy*?ke故设特解为， 故设特解为
代入原非齐次方程得a??1,b?41,c?? 代入原非齐次方程得k?1 39于是原非齐次方程的通解为 于是原非齐次方程的通解为
y?C1e?C2ex?3x1x41?x?x?x? y?C1e?C2e2?ex
392(7)y???6y??9y?(x?1)e3x (8)y???4y?xcosx
解：所给微分方程对应的齐次方程 解：所给微分方程对应的齐次方程的 的特征方程为r2?6r?9?0， 特征方程为r2?4?0， 特征根r1?r2?3 特征根r1,2??2i
于是对应的齐次方程通解为 于是对应的齐次方程通解为
y?C1e3x?C2xe3x y?C1cos2x?C2sin2x
由于??3是二重特征根， 由于???i?i不是特征根，
23x*y*?x(ax?b)ey故设特解为， 故设特解为?(ax?b)cosx?(cx?d)sinx
代入原非齐次方程得a?1112,b? 代入原非齐次方程得b?c?0,a?,d? 6239于是原非齐次方程的通解为 于是原非齐次方程的通解为
1112y?C1e3x?C2xe3x?x2(x?)e3x y?C1cos2x?C2sin2x?xcosx?sinx
6239(9)*y???3y??2y?2xsinx
解：所给微分方程对应的齐次方程的特征方程为r2?3r?2?0，特征根r1??1,r2??2，
由于???i?i不是特征方程的根，故设特解为y*?(ax?b)cosx?(cx?d)sinx，代入原非齐次方程
得a??,b?351716,c?,d?， 25525351716)cosx?(x?)sinx. 25525于是原非齐次方程的通解为y?C1e?x?C2e?2?(?x?4．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （1）y???2y'?3y?0，yx?0?3，y'x?0?1
解：所给齐次方程的特征方程为r2?2r?3?0，特征根r1?1,r2??3 于是通解为y?C1ex?C2e?3x，又yx?0?3，y'x?0?1，代入得C1?故特解为y?51,C2?， 225x1?3xe?e 22y?(0)?1
（2）y???y?4xex,y(0)?0解：所给微分方程对应的齐次方程的特征方程为r2?1?0，特征根r1?1,r2??1，
由于??1是特征方程的单根，故设特解为y*?x(ax?b)ex，代入原非齐次方程得a?1,b??1，于是原非齐次方程的通解为y?C1ex?C2e?x?x(x?1)ex， 又y(0)?0y?(0)?1，代入得C1?1,C2??1，故特解为y?ex?e?x?x(x?1)ex
5．试求y???x的经过点M(0,1)且在此点与直线y?x?1相切的积分曲线 2x3x?C1x?C2，又经过点M(0,1)，故C2?1，且在此点与直线y??1相切，解：y???xdxdx?26x3111?x?1 则y?(0)?，那么C1?，所以y?22626．设函数y(x)连续，且y??x0y(t)dt，求y。
x解：原方程两边对x求导，得y??y，解之得y?Ce，但代入后C?0
习题四 常微分方程总习题
一、填空题
1．3。2．y?Ce?x?3x。3．(ax?b)ex。 4． y???y??2y?0。
二、求解题
1．求下列微分方程的通解：
（1）dx?(2xy?y)dy?0
解：?1dx??ydy?0 2x?111ln(2x?1)?y2?lnC 2221x?Ce?y?
2（2）y????2y???3y??x?1
解：由 r3?2r2?3r?0 有 r?0,?3,1
则Y?C1?C2e?3x?C3ex
2y???设 y??Ax?B为方程的特解有x125x?x 69 则通解为y?C1?C2e?3x?C3ex?125x?x 692．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （1）y???y?6ex，yx?0?6，y?x?0?3
解：由 r2?1?0 有 r??1
则 Y?C1e?x?C2ex
则通解为y?C1e?x?C2ex?3xex
又yx?0?6，y?x?0?3 则y?3e?x?3ex?3xex
（2）y???9y?8cosx，yx?0?1，y?x?0?1
解：由 r2?9?0 有 r??3i
则 Y?C1cos3x?C2sin3x
设 y??Acosx为方程的特解有?Bsinxy??cosx 则通解为y?C1cos3x?C2sin3x?cosx
又yx?0?1，y?x?0?1
则y?1sinx?cosx 33．设函数?(x)?ex?x0?x0t?(t)dt?x??(t)dt, 求?(x)
0x0x解：由?(x)?ex??t?(t)dt?x??(t)dt 有 ?(0)?1
x ??(x)?e ??(0)? 1???(t)d t0xx ???(x)??(x? 则 r??i Y?C1cosx?C2sinx )ex设 y??Ae为方程的特解有y??1xe 2则通解为y?C1cosx?C2sinx?又?(0)?1 ??(0)? 1 则y?1xe 2111cosx?sinx?ex 2224．该可导函数?(x)满足?(x)cosx?2x0?x0?(t)sintdt?x?1求?(x)
解：?(x)cosx?2??(t)sintdt?x?1 有 ?(0)?1
??(x)cosx??(x)sinx?1
1?(x)??(x)????tanx?C ? ?2x?coxscosx?cos?(x)?sinx?Ccosx ?(x)?sinx?cosx 5．设二阶常系数线性方程y????y???y??ex的一个特解为y?e2x?(1?x)ex，试确定常数?,?,?并
求该方程的通解。
?4?2????0?解：代入有?3?2????? 解之有???3??2???1
?1?????0?又 r2?3r?2?0 有 r?1,2 则通解为y?C1e2x?C2ex?xex [y??(e2x?ex)?e2x?(1?x)ex?xex] 6．设y1?x，y2?x?e2x，y3?x(1?e2x)
是二阶常系数线性非齐次方程的特解，求微分方程的通解及该方程。
解：通解为y?C1(y2?y1)?C2(y3?y1)?y1?(C1?C2x)e2x?x
则该方程为 y???4y??4y?f(x) 因 y??x 有f(x)?4x?4
则该方程为 y???4y??4y?4x?4 一般解：由 y?(C1?C2x)e2x?x ①
有 2C1e2x?C2(1?2x)e2x?y??1 ② 及 4C1e2x?4C2(1?x)e2x?y?? ③
1?2x?C?e(4y??4?4xy??4x?y???2xy??)??14由②③解之有?
1?C?e?2x(y???2y??2)2??2代入①有y???4y??4y?4x?4
7 求y???6y??9y?0满足y?(0)?2, y(0)?2的特解
解：由 r2?6r?9?0 有 r12?3
则 y?(C1?C2x)e3x 又y?(0)?2, y(0)?2 则y?2e3x 8．求
tdy??e?(t?u)y(u)du?1满足y(0)?0的特解
0dt解：由y???e?(t?u)y(u)du?1 有y?(0)?1
0t 及y????y??y?1
由 r2?r?1?0 有 r12??1?5x2?1?5 2
则 Y?C1e?C2e?1?5x2通解为y?C1e?1?5x2?C2e?1?5x2?1
又y?(0)?2, y(0)?2
?1??115?2则y???e??225?5x?1??115?2???e??225?5x?1
9．已知常系数齐次线性方程的特征根为r1?3,r2??2,试确定该微分方程