解：由 r1?3,r2??2
有 r2?r?6?0
则该微分方程为 y???y??6y?0
习题五 常数项级数的概念和性质
一、选择题
1． （B）2．（A、D）3．（A、C） 二．填空题 1．?51 2． 35三．用定义判别下列级数的敛散性： 1．
?(n?1?n?1?n)
解：?sn?(2?1)?(3?2)???(n?1?n) ?n?1?1
n?? limsn?lim(n?1?1)??
n?? ?级数
?(n?1?n?1?n)发散。
2．
1111??????? 1?33?55?7(2n?1)(2n?1)解：?sn? ?111?????? 1?33?5(2n?1)(2n?1)11111111(1?)?(?)???(?)?? 2323522n?12n?111) ?(1?22n?1111)? limsn?lim(1?n??n??22n?12 级数
?(2n?1)(2n?1)收敛。
n?1?1四．判定下列级数的收敛性
n88283n81．??2?3???(?1)n?? 9999 解：这是几何级数，公比q?? ?q??8 98?1 9n8n ?级数?(?1)n收敛
9n?1?1111??????? 3693n1111111 解：原级数即是：?1??????????
332333n1111 ?(1???????)
323n111 而调和级数1???????发散
23n2． ?11?发散 ?n?13n?3．
1111??3???n?? 3333 解：级数的通项un?1n3
而limun?limn??13n??n?1?0
1111??3???n??发散。 3333 由级数收敛的必要条件可知级数：
332333n4．?2?3???n??
2222 解：这是公比q? ?q?3的几何级数 23?1 2332333n ?级数?2?3???n??发散
222211111111?)?(2?2)?(3?3)???(n?n)?? 232323231111 解：?几何级数：?2?3???n??收敛
22221111 几何级数：?2?3???n??也收敛
333311111111 ?(?)?(2?2)?(3?3)???(n?n)??收敛
232323235．(
习题六 正项级数及其审敛法
一、选择题 1． （B）2．（C）
二．用比较审敛法或其极限形式判别下列级数的敛散性： 1．1?1111?21?31?n?????? ?????? 2．1?1?221?321?n235(2n?1)111?n1?n1?(n?1) 解：??? 2n?1n1?n2n?n2n? 解：??11 又??发散 又??发散
n?1nn?1n?11?n ?级数?发散 ?级数?发散 22n?1n?1n?11?n?1111?????? 4。?3． (a?0) n2?53?6(n?1)(n?4)n?11?a?解：?111?1?0 ?2 解：当a?1； ?limn??1?an(n?1)(n?4)n??11 而级数?2收敛 此时级数?发散 nn1?an?1n?1?级数?111?发散时 当0?a?1时； nn1?aan?1(n?1)(n?4)? 此时几何级数
1收敛 ?nan?1? 则级数
1收敛。 ?nn?11?a?三．用比值审敛法判别下列级数的敛散性：
332333n??????? 2． 1．
1?22?223?23n?2n3nn2 解：级数的通项为：un? 解：级数的通项为：un?n nn?23n?1 ?limun?1n??u?lim(n?1)?2n?13nn??3n?2?1 n?2n??级数?3n n发散 n?1n?2?3． ?n2sin?n?12n 4 解：级数的通项为：u?n?n2sin2n ?limun?1n??un(n?1)2sin? ?lim2n?1n?? n2sin?2n??limn??(n?122n?11n)??2?12n?级数??n2sin?n?12n收敛。 四．用适当的方法判别下列级数的敛散性：
1．14241!?2!?343!???n4n1?? 2解：级数的通项为：un4 n?n! 3(n?1)2?limun?1n??u?lim3n?112??1 nn??n33n??级数?n2n收敛 n?13?．?2n?n!nn n?1解：级数的通项为：u2n?n!n?nn ?limun?1n??un2n?1?(n?1)!(n?1)n?1?lim2n??2n?n!?limn??n?1nn(nn)?lim2n???2?(1?1ne1n)??级数?2n?n!nn收敛。
n?1?．?n?1(n?2)
n?1nn?1解：?limn?(n?2)n??1?1 n (n?1)4u(n?1)!?limn?1?lim?4n??un??1nn 又?级数?发散，由比较判别
n!n?1nn?141?lim()??0?1n??nn?1?nn4n?1 由比值判别法，知级数：?收敛。 法的极限形式知级数?发散。
n(n?2)n!n?1n?1?3．
?2nsinn?1??3n 4．
34n?2?????? 23n?1n?2 n?1n 解：?2sin?3n?2n??3n 解：级数的通项为：un?n?22n??1?0 又??n收敛，由比较判别法， limun?limn??n??n?1n?13?知级数：
?2nsinn?1??3n收敛。 由级数收敛的必要条件
知级数
?n?1?n?2发散。 n?12nn!五．利用级数收敛的必要条件证明：limn?0
n??n2n?n!证明：由第三题.4小题知级数：?收敛， nn?1n?2nn! 由级数收敛的必要条件知limn?0。
n??n习题七 任意项级数的绝对收敛与条件收敛
一．讨论下列交错级数的敛散性： 1．1?12?13?14??
1n1n?1 解：?级数通项的绝对值un???un?1 (n?1.2?)