又?limun?limn??n??1n?0
? 由莱布尼兹判别法知，交错级数：
?(?1)n?1n?11n收敛。
2．1?111???? 2!3!4! 解：?级数通项的绝对值un? 又?limun?limn??11??un?1 (n?1.2?) n!(n?1)!1?0 n??n!由莱布尼兹判别法知，交错级数：
?(?1)n?1?n?11收敛。 n!3．1?234???? 357n 2n?1n?1解：?级数的通项：un?(?1) limun?limn??n1??0
n??2n?12 故limun?0。由级数收敛的必要条件知级数
n???(?1)n?1n?1?n发散。 2n?1二．判定下列级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 1．1?1111????? 32527292解：级数的通项：un?(?1)n?11
(2n?1)2 ?un??111 ??222(2n?1)(2n)4n?1 又??2收敛 由比较判别法，知级数?un收敛
n?14nn?1 ??(?1)n?1n?1?n?1?11n?1(?1)绝对收敛，从而级数收敛。 ?2(2n?1)2(2n?1)n?12．
?(?1)n?1?n3n?1
n?1解：级数的通项：un?(?1)n3n?1
?limun?1n??un?n?1n13?lim??1 n??n33n?1n?1 ?级数
?(?1)n?1n3n?1绝对收敛，从而级数
?(?1)nn?1?n3n?1收敛。
3．
11111111???2??3??4?? 323232321n?11?n 解：级数的通项：un?(?1)32 而
?un?1?n11???n收敛 n?132? 故原级数
?(?1)n?1?n?1?1111?n绝对收敛，从而级数?(?1)n?1?n收敛。 3232n?14．
1111????? ln2ln3ln4ln5n?1解：级数的通项：un?(?1)111 un?(?1)n ?ln(n?1)ln(n?1)ln(n?1)1unnln(n?1)lim?lim?lim n??1n??n??ln(n?1)1nn 令n?x，则limnx1?lim?lim??
n??ln(n?1)x??ln(x?1)x??1x?1?1 而级数?发散，由比较判别法的极限形式，知级数?un发散。
n?1nn?1? un?111??un?2 且limun?lim?0
n??n??ln(n?1)ln(n?1)ln(n?2) 由莱布尼兹判别法知，交错级数：
?(?1)n?1n?1?1收敛。
ln(n?1) 综上知级数
?(?1)n?1n?1?1条件收敛。
ln(n?1)习题八 泰勒公式与泰勒级数
一、将下列函数展开成x的幂级数，并求展开式成立的区间； 1．ax
解： ax?exlna
令 y?xlna
ey???yn?1?y?y2yn 2!???n!???y????
n?0n!? ax?exlna???xlna?n?1?lna?x??lna?2x2????lna?nnn?0n!2!n!x??2．sinx2 解：令
x2?y ?ny2n?1 siny????1??2n?1?!x????,???
n?0?x?2n?1n?? sinx?22????1???
n?0?2n?1?!?nn ????1???1?x2nx????,???
n?0??14n?2?!!3．ln?a?x?
解：ln?a?x??lna??x??x??1?a???lna?ln??1?a??
令
xa?y ?ny?????1?yn?1 ?ln?1?y???1,1?
n?0n?1 ?ln?a?x??lna?ln??x??1?a??
?x????
xn? ?lna????1?an?1n?0?nn?1
xn?1 ?lna????1??n?1?ann?04．
1 3?xnx???a,a?
1??x?111??? 解：??x3?3?x3n?0?3?1?3?x???3?1?? ?? ??n?0?13n?1xn?x?3?
x 2x?2x?3x3111???? 解：2
x?2x?34x?34x?15．
?1111???
x4x?141?3n1?1 ????x??4n?041?? ????14n?0???x????n?0?3?n?nx?1且x?1 3??n?1?????3??n?x??x?1
二．将下列函数展开成的?x?2?幂级数
1 4?x 解：令x?2?t，即t?x?2
1111 f?x?? ???t4?x2?t21?2 1．f?x??
?1t?2n?02n?n?t??2?n??1??
???x?2?1??x?2? ????2n?02n2n?1n?0n?0?x?4?
2．f?x??lnx
t?? 解：f?x??lnx?ln?2?t??ln2?1??
?2?t?? ?ln2?ln?1??
?2??t????n?2? ?ln2????1? n?1n?0?1?1 ?ln2??????x?2?n2?n?1n?0?三．将f?x???nnx??0,4?
1展开成?x?4?的幂级数
x2?3x?2111?? 2x?3x?2x?1x?2解：f?x?? ?111111????? x?4x?43?x?4??3?x?4??221?1?23nn1??x?4?1??x?4? ?????????
2n?0?2?3n?0?3?1??1n ???n?1?n?1??x?4?3?n?0?2?n??6?x??2?
习题九 幂级数
一、 填空题 1． 3。 2、 ??1,1?
二、 求下列幂级数的收敛域： 1．
?nxn?1?n
解：因为 ??limn??an?1 an