(2)求二面角Q -BP-C的余弦值．
实录 如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长度，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.
(1)依题意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0，2,0)． →＝(1,1,0)，DC→＝(0,0,1)，PQ→＝(1，－1,0)． 则DQ
→·→＝0，PQ→·→＝0. 所以PQDQDC
即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.又DQ∩DC＝D，故PQ⊥平面DCQ. 又PQ?平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.
错因 如图平面BPC，与平面BPQ的法向量分别为n＝(0,1,2)，m＝(1,1,1)，设二面角Q -BP-C的大小为θ，则θ≠〈m，n〉，θ＝π－〈m，n〉
→＝(1,0,0)，BP→＝(－1,2，－1)． (2)依题意有B(1,0,1)，CB
设n＝(x，y，z)是平面PBC的法向量，则 →＝0，??n·CB?x＝0，?即? →－x＋2y－z＝0.??BP＝0，?n·
令y＝1，则n＝(0,1,2)．
→＝0，??m·BP同理，设m是平面PBQ的法向量，则?
→?PQ＝0.?m·可取m＝(1,1,1)，
15
所以cos〈m，n〉＝5. 15
故二面角Q -BP-C的余弦值为5. 正解 (1)见实录
→＝(1,0,0)，BP→＝(－1,2，－1)．
(2)依题意有B(1,0,1)，CB
→??n·CB＝0，?x＝0，
设n＝(x，y，z)是平面PBC的法向量，则?即?
→＝0.?－x＋2y－z＝0.?BP?n·
因此可取n＝(0，－1，－2)．
→＝0，??m·BP
设m是平面PBQ的法向量，则?
→?PQ＝0.?m·15
可取m＝(1,1,1)，所以cos〈m，n〉＝－5. 15
故二面角QBPC的余弦值为－5.
18．（本小题满分12分）
如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点.
（I）求证：平面PAC?平面PBC；
（II）若AB?2，AC?1，PA?1，求证：二面角C?PB?A的余弦值.
21．（2013年高考湖南卷（理））如图5,在直棱柱
ABCD?A1B1C1D1中，AD//BC,?BAD?90?,AC?BD,BC?1,AD?AA1?3.
(I)证明:AC?B1D; (II)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.
【
答
案
】
解: (Ⅰ)
?ABCD?A1B1C1D1是直棱柱?BB1?面ABCD,且BD?面ABCD?BB1?AC
又?AC?BD,且BD?BB1?B,?AC?面BDB1。?B1D?面BDB1，?AC?B1D. (证毕)
(
Ⅱ
)
?B1C1//BC//AD,?直线B1C1与平面ACD1的夹角即直线AD与平面ACD1的夹角?。
建立直角坐标系，用向量解题。设原点在A点，AB为Y轴正半轴，AD为X轴正半轴。
设A?0,0，0?,D(3,0,0),D1(3,0,3),B(0,y,0),C(1,y,0)，则AC?(1,y,0),BD?(3,?y,0),?AC?B
AC?BD?0?3?y2?0?0,y?0?y?3.?AC?(1,3,0),AD1?(3,0,3).??n?AC?0设平面ACD1的法向量为n,则??.平面ACD1的一个法向量n?（-3，1，3）,AD?（3??n?AD1?0
?平面ACD1的一个法向量n?（-3，1，3）,AD?（3，0，0）?sin??|cos?n,AD?|?
332?77?3所以BD1与平面ACD1夹角的正弦值为21. 7
考试例6如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，且?DAB?60? ,侧面PAD?底面ABCD，且三角形PAD为等腰直角三角形，?APD?90?,M是AP的中点. （Ⅰ）求证AD?PB;
（Ⅱ）求异面直线DM与PB所成角的余弦值; （Ⅲ）求二面角A?PD?B的余弦值.
P M D C B A ?107, 207
5.已知AB是圆的直径，且AB?4，PA垂直圆所在的平面，且PA?3，M是圆上一点，且?ABM=30.求二面角A?BM?P的大小。
o
2
★4、如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC,CC1上的点，CF=AB=2CE，AB:AD:AA=1:2:4.
（1）求异面直线EF与A1D1所成角的余弦值； （2）证明AF⊥平面A1ED；
（3）求二面角A1-ED-F的正弦值。
例3（2010江西卷20）如图，?BCD与?MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD?平面BCD，AB?平面BCD，AB?23. （1）求直线AM与平面BCD所成的角的大小；
（2）求平面ACM与平面BCD所成的二面角的正弦值.
例3解：怎样用坐标法求直线和平面所成的角？ 例3的第（1）问
如图建立空间坐标系，设直线AM与平面BCD 所成的角的大小为θ， ∵AB?平面BCD
∴BA是平面BCD的一个法向量 故sin??|AM?BA||AM||BA| 点A坐标：（0，0，23）