(1)证明：PC⊥平面BED；
(2)设二面角APBC为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．
PCAC(1)由＝可得△FCE∽△PCA，则∠FEC＝90°，易得PC⊥EF、PC⊥BD.
FCEC(2)作AG⊥PB于G，由二面角APBC为90°，易得底面ABCD为正方形，可得AD∥面PBC，则点D到平面PCB的距离d＝AG，找出线面角求解即可．也可利用法向量求解，思路更简单，但计算量比较大．
法一
(1)证明 因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC，又PA⊥底面ABCD，所以
PC⊥BD.
设AC∩BD＝F，连接EF.因为AC＝22，PA＝2，PE＝2EC，故PC＝23，23PCACEC＝，FC＝2，从而＝6，＝6.
3FCECPCAC因为＝，∠FCE＝∠PCA，所以△FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°，
FCEC
由此知PC⊥EF.
PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC⊥平面BED. (2)解 在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足． 因为二面角APBC为90°，所以平面PAB⊥平面PBC. 又平面PAB∩平面PBC＝PB，故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.
BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB，所以底面ABCD为正方形，AD＝2，PD＝PA2＋AD2＝22.
设D到平面PBC的距离为d.
因为AD∥BC，且AD?平面PBC，BC?平面PBC，故AD∥平面PBC，A、D两点到平面PBC的距离相等，即d＝AG＝2.
设PD与平面PBC所成的角为α，则sin α＝所以PD与平面PBC所成的角为30°.
法二 (1)证明 以A为坐标原点，射线AC为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
d1
＝. PD2
C(22，0,0)，设D(2，b,0)，其中b＞0，则P(0,0,2)， E422
，0，，B(2，－b,0)． 33
于是→PC＝(22，0，－2)， 22→
BE＝，b，，
33
22→
DE＝，－b，，
33
从而→PC·→BE＝0，→PC·→DE＝0， 故PC⊥BE，PC⊥DE.
又BE∩DE＝E，所以PC⊥平面BDE. (2)解 →AP＝(0,0,2)，→AB＝(2，－b,0)． 设m＝(x，y，z)为平面PAB的法向量，则
m·→AP＝0，m·→AB＝0，即2z＝0且2x－by＝0， 令x＝b，则m＝(b，2，0)．
设n＝(p，q，r)为平面PBC的法向量，则
n·→PC＝0，n·→BE＝0，
2p2即22p－2r＝0且＋bq＋r＝0，
33令p＝1，则r＝2，q＝－
2
b，n＝1，－
2
b，2.
2
因为面PAB⊥面PBC，故m·n＝0，即b－＝0，故b＝2，于是n＝(1，
b－1，2)，→DP＝(－2，－2，2)．
n·→DP1→
cos〈n，DP〉＝＝，〈n，→DP〉＝60°.
→2|n||DP|
因为PD与平面PBC所成角和〈n，→DP〉互余，故PD与平面PBC所成的角为30°.
(2012·山东)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥
CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF.
(1)求证：BD⊥平面AED；
(2)求二面角F - BD- C的余弦值．
(1)证明 因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°， 所以∠ADC＝∠BCD＝120°.又CB＝CD，所以∠CDB＝30°， 因此∠ADB＝90°，AD⊥BD，又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，
AE，AD?平面AED，所以BD⊥平面AED.
(2)解 连接AC，由(1)知AD⊥BD，所以AC⊥BC.又FC⊥平面ABCD，因此
CA，CB，CF两两垂直，
以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF
所在的直线为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设CB＝1，
则C(0,0,0)，B(0,1,0)，
D?
?31?
，－，0?，F(0,0,1)，
2??2
?33?→→
因此BD＝?，－，0?，BF＝(0，－1,1)．
2??2设平面BDF的一个法向量为m＝(x，y，z)， 则m·→BD＝0，m·→BF＝0，所以x＝3y＝3z，
取z＝1，则m＝(3，1,1)．
由于→CF＝(0,0,1)是平面BDC的一个法向量，
m·→CF15→则cos〈m，CF〉＝＝＝，
55|m||→CF|所以二面角FBDC的余弦值为
5. 5