24．如图，抛物线y=ax+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点，对称轴是直线x=1，顶点是M．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设直线y=﹣x+3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由； （4）当E是直线y=﹣x+3上任意一点时，（3）中的结论是否成立（请直接写出结论）．
2
山东省潍坊市2015年中考数学模拟试卷（四）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共12小题） 1．已知m=1+
，n=1﹣
，则代数式
的值为（ ）
A． 9 B． ±3 C． 3 D． 5
考点： 二次根式的化简求值． 专题： 计算题． 分析： 原式变形为
整体代入计算即可．
解答： 解：m+n=2，mn=（1+原式=
=
，由已知易得m+n=2，mn=（1+
）（1﹣
）=﹣1，然后
）（1﹣）=﹣1，
=
=3．
故选：C．
点评： 本题考查了二次根式的化简求值：先把被开方数变形，用两个数的和与积表示，然后利用整体代入的思想代入计算．
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2．关于x的方程ax﹣（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1﹣x1x2+x2=1﹣a，则a的值是（ ）
A． 1 B． ﹣1 C． 1或﹣1 D． 2
考点： 根与系数的关系；根的判别式． 专题： 计算题；压轴题．
分析： 根据根与系数的关系得出x1+x2=﹣，x1x2=，整理原式即可得出关于a的方程求出即可． 解答： 解：依题意△＞0，即（3a+1）﹣8a（a+1）＞0，
22即a﹣2a+1＞0，（a﹣1）＞0，a≠1，
2
∵关于x的方程ax﹣（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1﹣x1x2+x2=1﹣a， ∴x1﹣x1x2+x2=1﹣a， ∴x1+x2﹣x1x2=1﹣a， ∴
﹣
=1﹣a，
2
2
解得：a=±1，又a≠1， ∴a=﹣1． 故选：B．
点评： 此题主要考查了根与系数的关系，由x1﹣x1x2+x2=1﹣a，得出x1+x2﹣x1x2=1﹣a是解决问题的关键．
3．如果一组数据a1，a2，…，an的方差是2，那么一组新数据2a1，2a2，…，2an的方差是（ ） A． 2 B． 4 C． 8 D． 16
考点： 方差． 专题： 计算题．
分析： 设一组数据a1，a2，…，an的平均数为，方差是s=2，则另一组数据2a1，2a2，…，2an的平均数为′=2，方差是s′，代入方差的公式S=[（x1﹣）+（x2﹣）+…+（xn﹣）]，计算即可．
解答： 解：设一组数据a1，a2，…，an的平均数为，方差是s=2，则另一组数据2a1，2a2，…，2an
2
的平均数为′=2，方差是s′，
∵S=[（a1﹣）+（a2﹣）+…+（an﹣）]， ∴S′=[++…+]
=[4（a1﹣）+4（a2﹣）+…+4（an﹣）]
=4S =4×2 =8． 故选C．
点评： 本题考查了方差的性质：当一组数据的每一个数都乘以同一个数时，方差变成这个数的平方
222
倍．即如果一组数据a1，a2，…，an的方差是s，那么另一组数据ka1，ka2，…，kan的方差是ks．
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4．图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿ADA1、A1EA2、A2FA3、A3GB路线爬行，乙虫沿ACB1路线爬行，则下列结论正确的是（ ）
A． 甲先到B点 B． 乙先到B点 C． 甲、乙同时到B D． 无法确定
考点： 圆的认识． 专题： 应用题．
分析： 甲虫走的路线应该是4段半圆的弧长，那么应该是π（AA1+A1A2+A2A3+A3B）=π×AB，因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等，因此两个同时到B点． 解答： 解：π（AA1+A1A2+A2A3+A3B）=π×AB，因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等， 因此两个同时到B点． 故选C．
点评： 本题考查了圆的认识，主要掌握弧长的计算公式．
5．如图，在锐角△ABC中，以BC为直径的半圆O分别交AB，AC与D、E两点，且则S△ADE：S四边形DBCE的值为（ ）
，
A． B． C．
D．
考点： 相似三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质．
分析： 连接BE，由∠A得余弦值可得到AE、AB的比例关系；易证得△ADE∽△ACB，那么AE、AB的比即为两个三角形的相似比，进而可求出两个三角形的面积比，也就能求出△ADE、四边形BDEC的面积比．
解答： 解：连接BE； ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BEC=90°； 在Rt△ABE中，cosA=
，即
=
；
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∵四边形BEDC内接于⊙O，
∴∠ADE=∠ACB，∠AED=∠ABC， ∴△ADE∽△ABC， ∴
=（
）=；
2
所以S△ADE：S四边形DBCE的值为． 故选A．
点评： 此题主要考查了圆内接四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，能够将∠A的余弦值转换为△ADE、△ACB的相似比，是解决此题的关键．
6．已知点P是⊙O内一点，⊙O的半径为5，OP=3，在过点P的所有⊙O的弦中，弦长为整数的弦的条数有（ ）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
考点： 垂径定理；勾股定理． 专题： 计算题．
分析： 如图，CD为过P点的直径，AB是与OP垂直的弦，连OA，根据垂径定理得到AP=BP，利用圆的性质有过点P的所有⊙O的弦中直径CD最长，AB最短，并且CD=10，然后根据勾股定理可计算出AP，则AB=2AP=8，于是得过点P的所有的弦长在8与10之间，则弦长可以为整数9，由圆的对称性得到弦长为9的弦有两条．
解答： 解：如图，CD为过P点的直径，AB是与OP垂直的弦，连OA， 则过点P的所有⊙O的弦中CD最长，AB最短，并且CD=10， ∵OP⊥AB， ∴AP=BP，
在Rt△OAP中，OP=3，OA=5， ∴AP=
=
=4，
∴AB=2AP=8，
∴过点P的弦中弦长可以为整数9，由圆的对称性得到弦长为9的弦有两条， ∴在过点P的所有⊙O的弦中，弦长为整数的弦的条数共有4条． 故选C．
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点评： 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了圆的有关性质以及勾股定理．
7．某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（ ） A． 6折 B． 7折 C． 8折 D． 9折
考点： 一元一次不等式的应用． 专题： 压轴题．
分析： 本题可设打x折，根据保持利润率不低于5%，可列出不等式：1200×出x的值即可得出打的折数． 解答： 解：设可打x折，则有1200×
﹣800≥800×5%，
﹣800≥800×5%，解
解得x≥7．
即最多打7折． 故选：B．
点评： 本题考查的是一元一次不等式的应用，解此类题目时注意利润和折数，计算折数时注意要除以10． 8．（课改）现有A、B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．用小莉掷A立方体朝上的数字为x小明掷B立方体朝上的数字为y来确定点P（x，y），那么它们各掷
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一次所确定的点P落在已知抛物线y=﹣x+4x上的概率为（ ） A．
B．
C． D．
考点： 概率公式；二次函数图象上点的坐标特征． 专题： 压轴题．
分析： 因为掷骰子的概率一样，每次都有六种可能性，因此小莉和小明掷骰子各六次，P的取值有36种．可将x、y值一一代入找出满足抛物线的x、y，用满足条件的个数除以总的个数即可得出概率．
解答： 解：点P的坐标共有36种可能，其中能落在抛物线y=﹣x+4x上的共有（1，3）、、（3，3）3种可能，其概率为
．
2
故选B．
点评： 本题综合考查函数图象上点的坐标特征与概率的确定．
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