π
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个
12单位长度，得到曲线C2
1π
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单26位长度，得到曲线C2
1π
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单212位长度，得到曲线C2
【考点】HJ：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换．
【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；57 ：三角函数的图像与性质． 【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．
1
【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝cos2x图
2πππ
象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y＝cos2(x＋)＝cos(2x＋)＝sin(2x
121262π
＋)的图象，即曲线C2， 3
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算能力．
10．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( ) A．16 B．14 C．12 D．10
【考点】K8：抛物线的简单性质．
【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4R：转化法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】方法一：根据题意可判断当A与D，B与E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，|AB|＋|DE|最小，根据弦长公式计算即可．
方法二：设出两直线的倾斜角，利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|，|DE|，整理求得答案
【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A，B两点， 直线l2与C交于D，E两点， 要使|AB|＋|DE|最小，
则A与D，B与E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1， 又直线l2过点(1，0)，
则直线l2的方程为y＝x－1，
2??y＝4x
联立方程组?，则y2－4y－4＝0，
??y＝x－1
∴y1＋y2＝4，y1y2＝－4， ∴|DE|＝
11＋2·|y－y|＝2×32＝8， k12
6
∴|AB|＋|DE|的最小值为2|DE|＝16，
π
方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为＋θ，
22p4
根据焦点弦长公式可得|AB|＝2＝2
sinθsinθ2p2p4
|DE|＝＝2＝2
cosθcosθπ2
sin(－θ)
2
44416
∴|AB|＋|DE|＝2＋2＝2， 2＝sinθcosθsinθcosθsin22θ∵0＜sin22θ≤1， ∴当θ＝45°时，|AB|＋|DE|最小，最小值为16， 故选：A
【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式，对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍属于中档题．
11．设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( )
A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z
【考点】72：不等式比较大小．
【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用；59 ：不等式的解法及应用． lgklgklgk
【分析】x，y，z为正数，令2x＝3y＝5z＝k＞1．lgk＞0．可得x＝，y＝，z＝．可lg2lg3lg5lgklgklgk36610105
得3y＝，2x＝，5z＝．根据3＝9＞8＝2，2＝32＞25＝5．即可
35lg2lg3lg5得出大小关系．
7
lgklgklgk2x2
另解：x，y，z为正数，令2x＝3y＝5z＝k＞1．lgk＞0．可得x＝，y＝，z＝．＝
lg2lg3lg53y3lg3lg9
×＝＞1，可得2x＞3y，同理可得5z＞2x． lg2lg8【解答】解：x，y，z为正数， 令2x＝3y＝5z＝k＞1．lgk＞0． lgklgklgk则x＝，y＝，z＝．
lg2lg3lg5lgklgklgk∴3y＝，2x＝，5z＝．
35lg2lg3lg5∵3＝9＞8＝2，2＝∴lg3＞lg2＞lg5＞0． ∴3y＜2x＜5z．
另解：x，y，z为正数，
令2x＝3y＝5z＝k＞1．lgk＞0． lgklgklgk则x＝，y＝，z＝．
lg2lg3lg5
2x2lg3lg9
∴＝×＝＞1，可得2x＞3y， 3y3lg2lg85z5lg2lg25＝×＝＞1．可得5z＞2x． 2x2lg5lg52综上可得：5z＞2x＞3y．
解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系． 故选：D．
【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，?，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( ) A．440 B．330 C．220 D．110
【考点】8E：数列的求和．
【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．
n(n＋1)
【分析】方法一：由数列的性质，求得数列{bn}的通项公式及前n项和，可知当N为
2时(n∈N＋)，数列{an}的前N项和为数列{bn}的前n项和，即为2n－n－2，容易得到N＞100时，n≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；
3
5
3
6
6
10
32＞
10
25＝5．
5
8
方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和Sn＝2n1－2－n，及项数，由题意可知：2n＋1
为2的整数幂．只需将－2－n消去即可，分别分别即可求得N的值．
＋
【解答】解：设该数列为{an}，设bn＝a(n－1)n
2
＋1
＋?＋an(n＋1)＝2n－1，(n∈N＋)，则b1＋b2
2
＋?＋bn＝a1＋a2＋?＋an(n＋1)，
2
由题意可设数列{an}的前N项和为SN，数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝21－1＋22－1＋?＋2n－1＝2n－n－2，
n(n＋1)
可知当N为时(n∈N＋)，数列{an}的前N项和为数列{bn}的前n项和，即为2n－n－2，
2容易得到N＞100时，n≥14，
29×30
A项，由＝435，440＝435＋5，可知S440＝T29＋b5＝230－29－2＋25－1＝230，故A
2项符合题意．
25×26
B项，仿上可知＝325，可知S330＝T25＋b5＝226－25－2＋25－1＝226＋4，显然不为2
2的整数幂，故B项不符合题意．
20×21
C项，仿上可知＝210，可知S220＝T20＋b10＝221－20－2＋210－1＝221＋210－23，显
2然不为2的整数幂，故C项不符合题意．
14×15
D项，仿上可知＝105，可知S110＝T14＋b5＝215－14－2＋25－1＝215＋15，显然不为
22的整数幂，故D项不符合题意． 故选A． 方法二：由题意可知：[20(第1项)]，[20，21(第2项)]，[20，21，22(第3项)]，?[20，21，22，?，－
2n1(第n项)]，
根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21－1，22－1，23－1，?，2n－1， 每项含有的项数为：1，2，3，?，n， (1＋n)n
总共的项数为N＝1＋2＋3＋?＋n＝，
2
2(1－2n)
所有项数的和为Sn：2－1＋2－1＋2－1＋?＋2－1＝(2＋2＋2＋?＋2)－n＝
1－2
1
2
3
n
1
2
3
n
－n＝2n1－2－n，
＋
由题意可知：2n1为2的整数幂．只需将－2－n消去即可，
＋
(1＋1)×1
则①1＋2＋(－2－n)＝0，解得：n＝1，总共有＋2＝3，不满足N＞100，
2(1＋5)×5
②1＋2＋4＋(－2－n)＝0，解得：n＝5，总共有＋3＝18，不满足N＞100，
2(1＋13)×13
③1＋2＋4＋8＋(－2－n)＝0，解得：n＝13，总共有＋4＝95，不满足N＞100，
2(1＋29)×29
④1＋2＋4＋8＋16＋(－2－n)＝0，解得：n＝29，总共有＋5＝440，满足N＞100，
2∴该款软件的激活码440． 故选A．
9
【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝ ．
【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
【专题】31 ：数形结合；4O：定义法；5A ：平面向量及应用． 【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可． 【解答】解：向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝1， ∴(a＋2b)2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2 ＝22＋4×2×1×cos60°＋4×12 ＝12，
∴|a＋2b|＝23．
【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用数量积求出模长，是基础题．
x＋2y≤1??
14．设x，y满足约束条件?2x＋y≥－1
??x－y≤0
，则z＝3x－2y的最小值为 ．
【考点】7C：简单线性规划．
【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；35 ：转化思想；5T ：不等式．
【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案． x＋2y≤1??
【解答】解：由x，y满足约束条件?2x＋y≥－1
??x－y≤0由图可知，目标函数的最优解为A，
??x＋2y＝1
联立?，解得A(－1，1)．
?2x＋y＝－1?
作出可行域如图，
∴z＝3x－2y的最小值为－3×1－2×1＝－5． 故答案为：－5．
10