－∧∧∧∧∧∧
(ⅱ)通过样本平均数x、样本标准差s估计μ、σ可知(μ－3σ，μ＋3σ)＝(9.334，10.606)，进而需剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的数据9.22，利用公式计算即得结论． 【解答】解：(Ⅰ)由题可知尺寸落在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.9974， 则落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为1－0.9974＝0.0026，
016
因为P(X＝0)＝C016×(1－0.9974)×0.9974≈0.9592， 所以P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝0.0408， 又因为X～B(16，0.0026)，
所以E(X)＝16×0.0026＝0.0416；
(Ⅱ)(ⅰ)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的． －∧∧
(ⅱ)由x＝9.97，s≈0.212，得μ的估计值为μ＝9.97，σ的估计值为σ＝0.212，由样本数据可以看出一个
零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．
1∧∧∧∧
剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为(16×9.97－9.22)＝10.02，
15因此μ的估计值为10.02．
22
? x2i＝16×0.212＋16×9.97≈1591.134， 16
∧∧∧∧
∧∧∧∧
∧∧∧∧
∧∧∧∧
i＝1
1∧∧∧∧
剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为(1591.134－9.222－
1515×10.022)≈0.008，
因此σ的估计值为0.008≈0.09．
【点评】本题考查正态分布，考查二项分布，考查方差、标准差，考查概率的计算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
x2y2
20．(本题满分12分)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)，四点P1(1，1)，P2(0，1)，P3(－1，
ab33
)，P4(1，)中恰有三点在椭圆C上． 22
(Ⅰ)求C的方程；
(Ⅱ)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点．
【考点】KQ：圆锥曲线的定值问题；K3：椭圆的标准方程．
16
【专题】14 ：证明题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5E ：圆锥曲线中的最值与范围问题．
33
【分析】(Ⅰ)根据椭圆的对称性，得到P2(0，1)，P3(－1，)，P4(1，)三点在椭圆C上．把
22P2(0，1)，P3(－1，
3
)代入椭圆C，求出a2＝4，b2＝1，由此能求出椭圆C的方程． 2
??y＝kx＋b
(Ⅱ)当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l：y＝kx＋b(b≠1)，联立?2，2
?x＋4y－4＝0?
得(1＋4k2)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条
件能证明直线l过定点(2，－1)．
【解答】解：(Ⅰ)根据椭圆的对称性，P3(－1，又P4的横坐标为1，∴椭圆必不过P1(1，1)， ∴P2(0，1)，P3(－1，把P2(0，1)，P3(－1，
33
)，P4(1，)三点在椭圆C上． 223
)代入椭圆C，得： 2
33)，P4(1，)两点必在椭圆C上， 22
?b＝1
?13?a＋4b＝1
2221
，解得a2＝4，b2＝1，
x22
∴椭圆C的方程为＋y＝1．
4
证明：(Ⅱ)①当斜率不存在时，设l：x＝m，A(m，yA)，B(m，－yA)， ∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1， yA－1－yA－1－2
∴kPA＋kPB＝＋＝＝－1，
mmm
2
2
解得m＝2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．
②当斜率存在时，设l：y＝kx＋b(b≠1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
?y＝kx＋b?联立?2，整理，得(1＋4k2)x2＋8kbx＋4b2－4＝0， 2
??x＋4y－4＝0
－8kb4b2－4x1＋x2＝，xx＝，
1＋4k2121＋4k2则kPA＋kPB＝
2
2
y1－1y2－1x2(kx1＋b)－x2＋x1(kx2＋b)－x1
＋＝ x1x2x1x2
8kb2－8k－8kb2＋8kb1＋4k28k(b－1)
＝＝＝－1，又b≠1，
4b2－44(b＋1)(b－1)1＋4k2∴b＝－2k－1，此时Δ＝－64k，存在k，使得Δ＞0成立， ∴直线l的方程为y＝kx－2k－1， 当x＝2时，y＝－1，
17
∴l过定点(2，－1)．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．
21．(本题满分12分)已知函数f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x． (Ⅰ)讨论f(x)的单调性；
(Ⅱ)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；52：函数零点的判定定理．
【专题】32 ：分类讨论；35 ：转化思想；4R：转化法；53 ：导数的综合应用． 【分析】(Ⅰ)求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f(x)单调性； (Ⅱ)由(Ⅰ)可知：当a＞0时才有两个零点，根据函数的单调性求得f(x)最小值，由f(x)min＜0，1－－－－
g(a)＝alna＋a－1，a＞0，求导，由g(a)min＝g(e2)＝e2lne2＋e2－1＝－2－1，g(1)＝0，
e即可求得a的取值范围．
(Ⅰ)求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f(x)单调性；
(Ⅱ)分类讨论，根据函数的单调性及函数零点的判断，分别求得函数的零点，即可求得a的取值范围．
【解答】解：方法一：(Ⅰ)由f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x，求导f′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1， 当a＝0时，f′(x)＝－2ex－1＜0， ∴当x∈R，f(x)单调递减，
11
当a＞0时，f′(x)＝(2ex＋1)(aex－1)＝2a(ex＋)(ex－)，
2a1
令f′(x)＝0，解得：x＝ln，
a1
当f′(x)＞0，解得：x＞ln，
a1
当f′(x)＜0，解得：x＜ln，
a
11
∴x∈(－∞，ln)时，f(x)单调递减，x∈(ln，＋∞)时，f(x)单调递增；
aa11
当a＜0时，f′(x)＝2a(ex＋)(ex－)＜0，恒成立，
2a∴当x∈R，f(x)单调递减，
综上可知：当a≤0时，f(x)在R上是单调减函数，
11
当a＞0时，f(x)在(－∞，ln)是减函数，在(ln，＋∞)是增函数；
aa(Ⅱ)①若a≤0时，由(Ⅰ)可知：f(x)最多有一个零点，
②当a＞0时，f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x， 当x→－∞时，e2x→0，ex→0， ∴当x→－∞时，f(x)→＋∞，
当x→＋∞，e2x→＋∞，且远远大于ex和x， ∴当x→＋∞，f(x)→＋∞，
18
∴函数有两个零点，f(x)的最小值小于0即可，
11
由f(x)在(－∞，ln)是减函数，在 (ln，＋∞)是增函数，
aa1111
∴f(x)min＝f(ln)＝a×(2)＋(a－2)×－ln＜0，
aaaa1111
∴1－－ln＜0，即ln＋－1＞0，
aaaa1
设t＝，则g(t)＝lnt＋t－1(t＞0)，
a1
求导g′(t)＝＋1，由g(1)＝0，
t1
∴t＝＞1，解得：0＜a＜1，
a
∴a的取值范围(0，1)．
方法二：(Ⅰ)由f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x，求导f′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1， 当a＝0时，f′(x)＝2ex－1＜0， ∴当x∈R，f(x)单调递减，
11
当a＞0时，f′(x)＝(2ex＋1)(aex－1)＝2a(ex＋)(ex－)，
2a
令f′(x)＝0，解得：x＝－lna，
当f′(x)＞0，解得：x＞－lna， 当f′(x)＜0，解得：x＜－lna，
∴x∈(－∞，－lna)时，f(x)单调递减，x∈(－lna，＋∞)时，f(x)单调递增； 11
当a＜0时，f′(x)＝2a(ex＋)(ex－)＜0，恒成立，
2a
∴当x∈R，f(x)单调递减，
综上可知：当a≤0时，f(x)在R上是单调减函数，
当a＞0时，f(x)在(－∞，－lna)是减函数，在(－lna，＋∞)是增函数； (Ⅱ)①若a≤0时，由(Ⅰ)可知：f(x)最多有一个零点，
11
②当a＞0时，由(Ⅰ)可知：当x＝－lna时，f(x)取得最小值，f(x)min＝f(－lna)＝1－－ln，
aa当a＝1，时，f(－lna)＝0，故f(x)只有一个零点， 11
当a∈(1，＋∞)时，由1－－ln＞0，即f(－lna)＞0，
aa故f(x)没有零点，
11
当a∈(0，1)时，1－－ln＜0，f(－lna)＜0，
aa由f(－2)＝ae4＋(a－2)e2＋2＞－2e2＋2＞0，
故f(x)在(－∞，－lna)有一个零点，
－
－
－
n0n0n0n0
3
假设存在正整数n0，满足n0＞ln(－1)，则f(n0)＝e(ae＋a－2)－n0＞e－n0＞2－n0＞0，
a
3
由ln(－1)＞－lna，
a
因此在(－lna，＋∞)有一个零点．
19
∴a的取值范围(0，1)．
【点评】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数单调性及最值，考查函数零点的判断，考查计算能力，考查分类讨论思想，属于中档题．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
??x＝3cosθ
22．(本题满分10分)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?，(θ为参数)，
?y＝sinθ??x＝a＋4t?
直线l的参数方程为?，(t为参数)．
?y＝1－t?
(Ⅰ)若a＝－1，求C与l的交点坐标；
(Ⅱ)若C上的点到l距离的最大值为17，求a．
【考点】QH：参数方程化成普通方程；IT：点到直线的距离公式． 【专题】34 ：方程思想；4Q：参数法；5S ：坐标系和参数方程．
【分析】(Ⅰ)将曲线C的参数方程化为标准方程，直线l的参数方程化为一般方程，联立两方程可以求得焦点坐标；
(Ⅱ)曲线C上的点可以表示成P(3cosθ，sinθ)，θ∈[0，2π)，运用点到直线距离公式可以表示出P到直线l的距离，再结合距离最大值为17进行分析，可以求出a的值．
??x＝3cosθx22
【解答】解：(Ⅰ)曲线C的参数方程为? (θ为参数)，化为标准方程是：＋y＝1；
9?y＝sinθ?
a＝－1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x＋4y－3＝0； x??9＋y2＝1
联立方程?，
??x＋4y－3＝0
2
?x＝3?
解得?或
?y＝0?
?
?24?y＝25
21x＝－
25
，
2124
所以椭圆C和直线l的交点为(3，0)和(－，)．
2525
??x＝a＋4t
(Ⅱ)l的参数方程?(t为参数)化为一般方程是：x＋4y－a－4＝0，
??y＝1－t
椭圆C上的任一点P可以表示成P(3cosθ，sinθ)，θ∈[0，2π)，
所以点P到直线l的距离d为：
|3cosθ＋4sinθ－a－4||5sin(θ＋φ)－a－4|3d＝＝，φ满足tanφ＝，且d的最大值为17．
41717
20