【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
x2y2
15．已知双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，
ab圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为 ．
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可．
x2y2
【解答】解：双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A(a，0)，
ab
以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点． 若∠MAN＝60°，可得A到渐近线bx＋ay＝0的距离为：bcos30°＝可得：
|ab|3a323＝b，即＝，可得离心率为：e＝．
c23a2＋b22
3
b， 2
23
故答案为：．
3
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力． 16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为 ．
11
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5E ：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】由题，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG＝
3BC，设OG＝x，则6
1
BC＝23x，DG＝5－x，三棱锥的高h＝25－10x，求出S△ABC＝33x2，V＝S△ABC×h＝
35
3·25x4－10x5，令f(x)＝25x4－10x5，x∈(0，)，f′(x)＝100x3－50x4，f(x)≤f(2)＝80，由此
2能求出体积最大值．
【解答】解：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG＝即OG的长度与BC的长度成正比， 设OG＝x，则BC＝23x，DG＝5－x，
三棱锥的高h＝DG2－OG2＝25－10x＋x2－x2＝25－10x， 13
S△ABC＝××(23x)2＝33x2，
22
1
则V＝S△ABC×h＝3x2·25－10x＝3·25x4－10x5，
35
令f(x)＝25x4－10x5，x∈(0，)，f′(x)＝100x3－50x4，
2令f′(x)≥0，即x4－2x3≤0，解得x≤2， 则f(x)≤f(2)＝80，
∴V≤3×80＝415cm3，∴体积最大值为415cm3． 故答案为：415cm3．
3
BC， 6
【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．
12
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．
a2
17．(本题满分12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为．
3sin A(Ⅰ)求sin Bsin C；
(Ⅱ)若6cos Ccos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．
【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．
【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；4R：转化法；56 ：三角函数的求值；58 ：解三角形．
【分析】(Ⅰ)根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，
1π
(Ⅱ)根据两角余弦公式可得cosA＝，即可求出A＝，再根据正弦定理可得bc＝8，根据余
23弦定理即可求出b＋c，问题得以解决．
1a2
【解答】解：(Ⅰ)由三角形的面积公式可得S△ABC＝acsinB＝，
23sin A∴3csinBsinA＝2a，
由正弦定理可得3sinCsinBsinA＝2sinA， ∵sinA≠0， 2
∴sinBsinC＝；
3(Ⅱ)∵6cosBcosC＝1， 1
∴cosBcosC＝，
6
121
∴cosBcosC－sinBsinC＝－＝－，
6321
∴cos(B＋C)＝－，
21
∴cosA＝，
2∵0＜A＜π， π∴A＝，
3∵
abc3＝＝＝2R＝＝23， sin Asin Bsin C3
2
bcbcbc2
∴sinBsinC＝·＝＝＝，
2R2R(23)2123∴bc＝8，
∵a2＝b2＋c2－2bccosA， ∴b2＋c2－bc＝9，
∴(b＋c)2＝9＋3cb＝9＋24＝33， ∴b＋c＝33
13
∴周长a＋b＋c＝3＋33．
【点评】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定理余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题．
18．(本题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°． (Ⅰ)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(Ⅱ)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A－PB－C的余弦值．
【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定． 【专题】15 ：综合题；31 ：数形结合；41 ：向量法；5G ：空间角．
【分析】(Ⅰ)由已知可得PA⊥AB，PD⊥CD，再由AB∥CD，得AB⊥PD，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面PAD，进一步得到平面PAB⊥平面PAD；
(Ⅱ)由已知可得四边形ABCD为平行四边形，由(Ⅰ)知AB⊥平面PAD，得到AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，设PA＝AB＝2a，则AD＝22a．取AD中点O，BC中点E，连接PO，OE，以O为坐标原点，分别以OA，OE，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，→
求出平面PBC的一个法向量，再证明PD⊥平面PAB，得PD为平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A－PB－C的余弦值． 【解答】(Ⅰ)证明：∵∠BAP＝∠CDP＝90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD， ∵AB∥CD，∴AB⊥PD，
又∵PA∩PD＝P，且PA?平面PAD，PD?平面PAD， ∴AB⊥平面PAD，又AB?平面PAB， ∴平面PAB⊥平面PAD；
(Ⅱ)解：∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD为平行四边形， 由(Ⅰ)知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形， 在△APD中，由PA＝PD，∠APD＝90°，可得△PAD为等腰直角三角形，
设PA＝AB＝2a，则AD＝22a．
取AD中点O，BC中点E，连接PO，OE，
以O为坐标原点，分别以OA，OE，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则：D(－2a，0，0)，B(2a，2a，0)，P(0，0，2a)，C(－2a，2a，0)． →→→
PD＝(－2a，0，－2a)，PB＝(2a，2a，－2a)，BC＝(－22a，0，0)． 设平面PBC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
→?PB＝0?n·?2ax＋2ay－2az＝0由?，得?，取y＝1，得n＝(0，1，2)．
→?－22ax＝0?BC＝0?n·
∵AB⊥平面PAD，AD?平面PAD，∴AB⊥PD，
14
又PD⊥PA，PA∩AB＝A，
→→
∴PD⊥平面PAB，则PD为平面PAB的一个法向量，PD＝(－2a，0，－2a)．
→
－2aPD·n3→
∴cos＜PD，n＞＝＝＝－．
3→
|PD|·|n|2a×3由图可知，二面角A－PB－C为钝角， ∴二面角A－PB－C的余弦值为－
3
． 3
【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．
19．(本题满分12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2)． (Ⅰ)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；
(Ⅱ)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． (ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性；
(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 －116
经计算得x＝? xi＝9.97，s＝16i＝1
116－
(xi－x)2＝?16i＝1
1162－
(? xi－16x2)≈0.212，其中xi16i＝1
为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1，2，?，16．
－∧∧
用样本平均数x作为μ的估计值μ，用样本标准差s作为σ的估计值σ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)． 附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ＜Z＜μ＋3σ)＝0.9974，0.997416≈0.9592，0.008≈0.09．
【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4A ：数学模型法；5I ：概率与统计．
【分析】(Ⅰ)通过P(X＝0)可求出P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝0.0408，利用二项分布的期望公式计算可得结论；
(Ⅱ)(ⅰ)由(Ⅰ)及知落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；
∧
∧
∧
∧
15