第二章 函数 2.1映射与函数
一、映射：
1、映射定义：设A,B是两个非空集合，如果按照某种对应关系 f，对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么，这样的对应（包括集合 A,B，以及集合A 到集合 B 的对应关系f）叫做集合A到B的映射，记作
f:A?B，其中x叫原象，y叫象。
2、一一映射：在集合A到B的映射中，集合B中每一个元素都有唯一原象。
二、函数：
1、定义：设A,B是非空的数集，则A到B的映射f:A?B的映射叫做A到B的函数。记做：y?f(x) 。原象的集合A叫做函数的定义域，象集B叫做函数的值域。 2、函数的三要素： ① ；② ；③ . 3、函数的表示法： ① ；② ；③ . 三、分段函数：
若函数在定义域的不同区间上对应法则不同，则可用几个不同的解析式来表示该函数，这种形式的函数叫做分段函数。
注：分段函数是一个函数。 例1、（1）集合A,B为自然数集，映射f:A?B把集合A的元素x映射到B中的元素
2x?x，则在映射f下，16的象是 ，像20的原象是 （2）映射f:(x,y)?(x?2y,x?2y)，在映射f下(0,1)的象是 (3,1)的原象是
1,2,3?,B??a,b?，则映射f:A?B有 个。 （3）若A?? （4）设A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，如图所示，可能表示函数图象的是
( )
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例2、下列各组函数是同一函数的是 ①f(x)?x2?2x?1,g(t)?t2?2t?1
x2?1,g(x)?x?1 ②f(x)?x?1③y?x,y?④y?x2
x2,y?(t)2
t2
⑤y?x,y?例3、函数f(x),g(x)由下表给出
x f(x) 1 1 2 3 3 1
x g(x) 1 3 2 2 3 1 则f(g(1))? ，若f?g(x)??g?f(x)?，则x?
例4、①已知：f(x)???x?3,(x?0)?x,(x?0)2，若f(a)?f(4)，则a? ?x2?4x?6,(x?0)②若f(x)??，则f(x)?f(1)的解集是
x?6,(x?0)?③f(x)??
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?2,(x?0)?x?4x?2,(x?0)2 ，则f(x)?x的解集的个数是 2.2函数定义域与解析式
一、定义域求法： 1、具体函数定义域： （1）f(x)?1 g(x) （2）f(x)?2ng(x),(n?Z)
（3）f(x)?logag(x)，(a?0且a?1) （4）f(x)?g(x)0
（5）实际应用问题中，x应使实际问题有意义 例1、求下列函数的定义域： 1、y?
x?1?1 2、y?1x?2x?32
1?x2lg(3?x)0?(x?1) 4、y?3、y?
2?x?2x
2、抽象函数定义域：
2 例2、（1）已知：f(x)定义域为(0,1)，求f(2x?4)定义域，求f(x)定义域。
（2）已知：f(2x?4)定义域为(0,1)，求f(x)定义域。
（3）已知：f(x)定义域为?0,4?，求f(x?1)?f(x?1)定义域。
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3、已知函数定义域，求参数的范围： 例3、已知：y?ax?13ax?4ax?32定义域为R，求a的范围。
4、实际问题：
例4、用长为l的铁丝折成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为2x，求
此框架围成的面积y与x的函数关系式。
二、求函数解析式： 1、具体函数解析式：（待定系数法）
（1）f(x)为一次函数，且f(x?1)?f(x?1)?4x?2，求f(x)表达式。
（2）已知二次函数的对称轴方程是x?1，且在y轴上截距为?3，被x轴截得的线段长为4，求f(x)解析式。
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2、抽象函数解析式： （1）换元法：
例6、①已知f(x?1)?x2，求f(x)解析式。
②已知f(x?1)?x?2x，求f(x)解析式。
（2）拼凑法： 例7、已知f(x?11)?x2?2，求f(x)及f(x?1)解析式。 xx
（3）其它类型：
x例8、已知函数f(x)与g(x)?2图像关于直线x?1对称，求f(x)解析式。
思考题：
?x2?1,(x?0)2 f(x)??，则满足不等式f(1?x)?f(2x)的x取值范围是 ?1,(x?0)
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