练 习
?x?1,(x?1)1、已知f(x)??，则
?x?3,(x?1)??5?f?f()?? ?2?x2?x?12、已知f(x)?的定义域为R，则k的范围是 kx2?kx?13、求下列函数定义域： （1）f(x)?
4、（1）已知：f(x)定义域为(0,5)，求f(x?4)定义域。
（2）已知：f(x)?ln
5、（1）若f?f(x)??2x?1，一次函数f(x)解析式为
（2）若二次函数f(0)?2，当x?1时fmin(x)??1，则f(x)解析式为 x （3）若y?f(x)与g(x)?2图像关于直线x??1对称，则f(x)解析式为 (x?1)0x?x （2）y?4?x2?1 x?11?xx1，求 g(x)?f()?f()定义域。 1?x2x6、（1）若f(x?11)?x2?2?1，则f(x)解析式为 xx2 （2）若f(x?2)?x?1，则f(x)? ，f(x?1)? ?1,(x?0)?1?x7、若f(x)??，则不等式f(x)?的解集为
3?(1)x,(x?0)??3第 6 页 共 30 页
2.3函数的奇偶性和周期性
一、函数奇偶性：
1、定义：如果对于函数f(x)定义域关于原点对称，若______________，则称f(x)为奇函数；若____________，则称f(x)为偶函数．
2、奇偶函数的性质：
（1）定义域都关于 对称；
（2）奇函数图像关于 对称；偶函数图像关于 对称； （3）若f(x)为奇函数，且f(0)存在，则f(0)? ；
若f(x)为偶函数，则f(x)? ；
（4）奇函数在对称区间的增减性 ，偶函数在对称区间的增减性 ； （5）既奇又偶的函数有且只有一个，即 ；
（6）奇+奇= ，偶+偶= ，奇?奇= ，偶?偶= ，奇?偶= 3、判断奇偶性的步骤：
（1）求定义域，判断其定义域是否关于原点对称，否则非奇非偶； （2）确定f(?x)与f(x)的关系；
（3）若f(?x)?f(x)或f(?x)?f(x)?0，则f(x)是偶函数； 若f(?x)??f(x)或f(?x)?f(x)?0，则f(x)是奇函数；
例1、若f(x)?Ax?Bx?Cx?Dx?Ex?F，根据下列条件，判断系数
5432A,B,C,D,E,F的取值情况。
（1）f(x)是奇函数； （2）f(x)是偶函数
例2、判断下列函数的奇偶性： （1）f(x)?
1x （2）f(x)??1 （3）f(x)?x3?3x
xx?11?x2x?1 （4）f(x)?lg （5）f(x)?x
1?x2?1
（6）若f(x)满足f(x?y)?f(x)?f(y)
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例3、已知f(x)为奇函数，当x?0时f(x)?x2?2x （1）求f(?1)的值；
（2）当x?0时，求f(x)解析式。
例4、若奇函数在(0,??)为增函数，且f(1)?0，则不等式
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f(x)?f(?x)?0的解集为
x二、函数的周期性：
1、定义：对函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x?T)?f(x)，则f(x)为周期函数，其中T称作f(x)的周期．
2、周期函数的一些隐含条件：
（1）f(x?a)?f(x?a)，则f(x)的周期是 （2）f(x?a)??f(x)，则f(x)的周期是 （3）f(x?a)?1，则f(x)的周期是 f(x)三、函数的对称性：
（1）若f(x)?f(?x)，则f(x)的对称轴是 （2）若f(a?x)?f(a?x)，则f(x)的对称轴是
（3）若f(a?x)?f(x?b)，则f(x)的对称轴是
)? 例5、（1）若f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)?2，f(x?4)?f(x)，则f(125
（2）若f(x)是定义在R上的奇函数，f(x?2)??f(x)，当0?x?1时，f(x)?x，
则f(47.5)?
753 （3）若f(x)?ax?bx?cx?dx?5，a,b,c,d为常数，f(?7)??7，则f(7)?
（4）若f(x)?2?2x?xlga为奇函数，则a? 若f(x)?(x?1)(x?a)为偶函数，则a? （5）若f(x)为定义在R上且T?3的奇函数，f(1)?1，f(2)?
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2a?3，则a? a?3练 习
1、若f(x)是定义在R上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ） A、f(x)f(?x)是奇函数 B、f(x)f(?x)是奇函数 C、f(x)?f(?x)是偶函数 D、f(x)?f(?x)是偶函数
2、若f(x)是定义在R上的奇函数，且T?3，f(1)?2，则f(2)?（ ） A、?2 B、2 C、1 D、?1
(x?1)(x?a)是奇函数，则a? x1 （2）若f(x)?a?x是奇函数，则a?
2?13、（1）若f(x)?4、若f(x)是奇函数，当x?0时f(x)?x?1，则f(x)?0时，x的取值范围是 5、若f(x)是定义在R上以6为周期的函数，f(x)在(0,3)内单调递减，且f(x)满足
f(3?x)?f(3?x)， f(1.5)，f(3.5)，f(6.5)的大小关系是
6、奇函数f(x)满足f(2)?1，f(x?2)?f(x)?f(2)，则f(3)? 7、若f(x)是(??,??)上的偶函数，且满足f(x?2)??1，当2?x?3时f(x)?x f(x)则f(5.5)?
?2?x?1,(x?0))? 8、若f(x)??，则f(2011?f(x?4),(x?0)
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