2.4函数单调性
一、单调性：
1、定义： 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任
意两个自变量x1，x2，当x1
2、单调区间：如果函数y＝f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么说函数y＝f(x)在这
一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间。
二、判断函数单调性的方法： 1、定义法：（1）设x1,x2?定义域；（2）作差f(x1)?f(x2)；（3）判断f(x1)?f(x2)的正负。 2、导数法：（1）求定义域；（2）求导f??x?；（3）f??x??0?f(x)?，f??x??0?f(x)? 3、其它：增+增= ，减+减= ，增-减= ，减-增= 三、复合函数y?f?g(x)?单调性：
y?f(x) ? ? ? ? y?g(x)
y?f?g(x)? ? ? ? ? 口诀： 例1、用函数单调性定义证明：f(x)?x?1x在定义域上是增函数。
例2、（1）y?x?x?1的单调区间为
（2）若f(x)?x?2(a?1)x?2的递减区间为(??,4]，则a的范围是 （3）若f(x)?x?2(a?1)x?2在(??,4]上是减函数，则a的范围是
2 （4）二次函数y?x?bx?c满足f(1?x)?f(1?x)，则b? ，
f(?1),f(4)的大小关系是 22 （5）奇函数f(x)在区间?a,b?，(b?a?0)是增函数，且最小值为m，那么??b,?a?上是（ ）
A、增函数，且ymin?m B、增函数，且ymax?m C、减函数，且ymin?m D、减函数，且ymax?m
第 11 页 共 30 页
????,?上任意x1,x2，有如下条件： ?22?22 （1）x1?x2 （2）x1?x2 （3）x1?x2
例3、已知f(x)?x2?cosx，对于?? 其中能使f(x1)?f(x2)恒成立序号为 ex?e?x例4、y?的奇偶性为 ，它在区间(0,??)上的增减性为
2
例5、讨论y?log2(2x2?5x)的单调性。
例6、已知奇函数在(?2,2)上单调递增，且有f(2?a)?f(1?2a)?0，求a的范围。
例7、若f(x)??
第 12 页 共 30 页
?(3a?1)x?4a,(x?1) 是(??,??)上的减函数，则a的范围是
?logax,(x?1)练 习
1、定义在R上的偶函数f(x)满足?x1,x2?[0,??),(x1?x2)都有则f(3),f(?2),f(1)大小关系是 2、在区间(??,0)上为增函数的是（ ）
A、y?() B、y?log1x C、y??(x?1)2 D、y??2f(x2)?f(x1)?0，
x2?x123x1 x1?x2?3xy?()3、（1）的增区间是 2 （2）f(x)?loga(2?ax)在[0,1)上是减函数，则a的取值范围是 4、若二次函数f(x)?x2?px?1，(p为常数)，?x?R，均有f(1?x)?f(1?x)，则f(0),f(?1),f(1)的大小关系是 5、若f(x)是周期为2的函数且f(x)?x2， x?[?1,1]，则f(7.5)?
ax?b12f()?是奇函数，且， 225x?1 （1）求f(x)解析式；
（2）证明：f(x)在(?1,1)上是增函数。（用定义证）
6、若f(x)?
7、已知：f(x)是定义在R上的增函数
2 （1）比较f(a?2)与f(2a)的大小
（2）若f(a)?f(a?6)，求a的取值范围。
第 13 页 共 30 页
22.5基本函数
一、一次函数：
1、形如 叫一次函数；定义域为 ，值域为
图像为
2、k?0时，函数为 函数；k?0时，函数为 函数。 3、当且仅当 时，函数为奇函数，一次函数不可能为偶函数。 4、y?kx?b的零点为
二、二次函数： 1、解析式：
（1）一般式：
（2）顶点式：
（3）双根式：
2、定义域： ，值域为
3、图像为： ，对称轴为： ，顶点坐标为：
4、当且仅当 时二次函数为偶函数，二次函数不可能为奇函数。
5、当??0时，函数有两个零点 当??0时，函数有一个零点 当??0时，函数无零点
例1、（1）若二次函数f(x)?x?(a?2)x?5在区间(2,??)上是增函数，则a的取值
范围是
（2）若二次函数f(x)?ax?4x?a?3的最大值恒为负，则a的取值范围是 2 （3）若二次函数f(x)?x?bx?c对于任意t?R，均有f(2?t)?f(2?t)，则
22f(1),f(2),f(4)的大小关系是 （4）若二次函数f(x)?x?2x?3在区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m的
取值范围是
第 14 页 共 30 页
2 （5）已知：二次函数f(x)?x2?2ax?3，
①若f(x)在区间[0,2]上单调，则a的取值范围是 ②若x?[1,2]，则f(x)的最小值h(a)?
三、指数函数与对数函数： 1、指数运算： ①amnm? ，an?mn?
n②a?a? ，a?a? ，(am)n? 2、对数运算：a?N? ①logaa? ，loga1? ，a ②loga(MN)? ，loga ③换底公式：logbN? ，
④logab?logba? ，logama? 例1、化简下列各式： 1、32?27
25?13logaNbm? ，logaaN? ，
M? ，logaMn? ， Nn110?302、2?(2)?2? 3、log2[log3(log464)]
427
4、
第 15 页 共 30 页
12lg2?lg5?lg822 5、lg5?lg8?lg5?lg20?lg2
3lg50?lg40