(IR) ?u?s[x(a,?)]?g(?)d??c(a)?u （8.1）
式（8.1）称为“参与约束”或“个人理性约束”（individual rationality constraint，称写为IR），它是代理人接受合约的必要条件。
另一个概念是激励相容约束，下面给出定义。 激励相容约束：
尽管委托人不能“经济地”观测到代理人的行为，但有一个原理制约着代理人的行为，这就是“激励相容约束”（incentive compatibility constraint，简写为IC）。这个约束决定了代理人的行动选择a应满足的条件：
u?s[x(a,?)]?g(?)d??c(a)? （8.2） (IC)
??u?s[x(a?,?)]?g(?)d??c(a?),?a??A一个委托—代理博弈中，委托人应清楚代理人的行动选择a必须同时满足(IR)和
(IC)这两个约束。
这样，委托人的问题就是：在(IR)和(IC)限定的范围内选择a（通过奖惩诱使代理人选择a）和s(x)，最大化期望效用函数(P)，即：
max?v??(a,?)?s[x(a,?)]?g(?)d?
a,s(x)s.t (IR) ?u?s[x(a,?)]?g(?)d??c(a)?u （8.3）
(IC) ?u?s[x(a,?)]?g(?)d??c(a)??u?s[x(a?,?)]?g(?)d??c(a?),?a??A
这就是由wilson（1969），Spence和Zeckhauser（1971）及Ross（1973）等人提出的委托—代理博弈的分析框架，称为“状态空间模型化方法”（State-Space formulation）。
这种方法的优点是每一种技术关系都很直观地表达出来，但困难的是由该方法难以导出有信息量的解（若s(x)不限制在一个有限的区域，这个模型还可能没有解）。
在本书中将主要使用的方法是由Mirrlees（1974、1976）和Holmstrom（1979）提出的所谓“分布函数的参数化方法”（Parameterized distribution formulation）。
这种方法的基本思路是：
因为x?x(a,?)，???(a,?)，所以，对于每一个固定的a，?与x或者?与?是相对应的。因为?是随机变量，故此时x和?都是随机变量。
我们将?的分布函数转换为x和?的联合分布函数，用F(x,?,a)和f(x,?,a)分别代表从分布函数G(?)导出的联合分布函数和密度函数。
此时，委托人的问题就可表示为： max?v???s(x)?f(x,?,a)dx （8.4）
a,s(x)
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s.t (IR) ?u[s(x)]f(x,?,a)dx?c(a)?u
(IC) ?u[s(x)]f(x,?,a)dx?c(a)??u[s(x)]f(x,?,a)dx?c(a?),?a??A
除了上述两种方法之外，还有一种更加抽象的分析框架是所谓的一般化分布方法（general distribution formulation）。这种方法基于在分布函数的参数化方法表述下，代理人选择不同的行动a等价于他选择了不同的分布函数F(x,?,a)（或不同的密度函数。 f(x,?,a)）
由此，我们就可将分布函数本身当作代理人的选择变量，从而将a消掉了（用F或f对应于a）。
设p是x和?的一个密度函数，P为所有p的集合(p?P)。因c(a)?c[a(p)]?c(p)（由p与a的上述对应），故c(p)为p（对应某个a）的成本（负效用）函数。则委托人问题又可表述为：
max?v???s(x)?p(x,?)dx
p?P,s(x)s.t (IR) ?u[s(x)]p(x,?)dx?c(p)?u （8.5）
p(x,?)dx?c(~p),?~p?P (IC) u[s(x)]p(x,?)dx?c(p)?u[s(x)]~??在这种表述中，关于a和成本c(p)的经济学解释消失了，但得到一个非常简练的一般化模型，这个一般化模型甚至包括隐藏信息模型。
在上述三种表述方法中，参数化方法是标准的方法，本章将主要采用这种方法。 今后将假定产出?是唯一的可观测指标（即x??）。委托人对代理人的奖惩只能根据观测到的产出?作出。这时，委托人的问题就是：
max?v???s(x)?f(?,a)d?
a,s(x)s.t (IR) ?u[s(?)]f(?,a)d??c(a)?u （8.6）
(IC) ?u[s(?)]f(?,a)d??c(a)??u[s(x)]f(?,a?)d??c(a?),?a??A
8.3 最优合约：对称信息的情形
8.3.1 直观推理
委托—代理问题的核心在于由于信息不对称带来的激励问题。也就是说，由于委托人不能无成本地或“经济地”观测到代理人的行为或把握代理人知道的知识状态，委托人就需要设计有效的合约来激励代理人最大程度地按照符合委托人利益选择其行为。但是，为了对比信息对称情形与信息不对称情形下的博弈结果，从而刻画由于信息不对称带来的交易成本，我们在本小节中暂时不考虑信息的不对称，假定委托人可以无成本地
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观测到代理人的行动。
我们先来看看在这种信息对称情形下的博弈结果是什么，并将其作为后面研究信息不对称情形下的博弈的一个参照。
在委托人可以无成本地观测到代理人的行动的情况下，委托人的最优合约是什么？代理人的行动选择是什么？在给定合约下，委托人希望代理人选择什么样的行动？委托人如何设计博弈机制使代理人选择委托人希望他选择的行动？这些问题，都是以下分析将要回答的。
在信息对称的情形，分析委托—代理问题不需要激励相容约束，于是，委托人的问题是：
max?v???s(?)?f(?,a)d? （8.7）
a,s(?)s.t (IR) ?u[s(?)]f(?,a)d??c(a)?u
显然，给定合约s(?)，委托人不会希望代理人无限大地努力。这是因为，尽管代理人愈努力，即a愈大时，产出?的预期水平将愈高。但是，随着a的增大，代理人的负效用即成本c(a)也会增加。由于参与约束，委托人要让代理人参与博弈，就需要给予代理人愈多的奖赏。由于边际产出的递减性质和边际成本函数的递增性质，必定存在某个有限的努力程度a*，使委托人的期望效用达到最大化。即委托人在给定合约下最希望代理人选择的努力程度是有限的。
那么，这个有限的努力程度a是如何能被加以数学刻画的呢？
显然，在委托人的期望效用达到最大的情形，参与约束(IR)必定会变成等式，因为他不必在已能诱使代理人参与博弈的情况下还付给代理人额外的产出。
当代理人的行动选择a已位于委托人最希望他选择的水平a*时，在边际上，代理人
?c(a)的努力程度再无穷小地增加1个单位时，其成本将增加。根据参与约束，委托人
?a?c(a)需要额外支付给代理人的最小（能保证代理人还参与博弈）收入为?a，其中
u??u(s(?))u??。这是因为，在边际上，代理人收入的无穷小1单位增加将带来的效用增
?s?c(a)?c(a)u?倍，故代理人收入的无穷小增加为加为u?，而边际上增加的效用是u?的?a?a?c(a)u?个单位。 ?a这种给予代理人的收入补偿来自委托人收入的减少部分，它给委托人在边际上带来
?c(a)v??c(a)?v(??s(?))u??的效用减少为v?，其中v??，y???s(?)。这是在给定?au??a?y
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的不确定因素下的分析，由于?是随机变化的，代理人的期望效用减少为v??(a)?u?ag(?)d?。
当代理人努力程度a在a*上有一个无穷小的1单位增加时，给定?下产出增加为??(a,?)v???(a,?)??(a,?)g(?)d?。我们以，委托人效用增加为，期望效用增加??v??a?a?a下用“期望算子”E来表示对一个随机变量计算期望值，即
??(a,?)??(a,?)??v?g(?)d? Ev??a?av??c(a)v??c(a)??g(?)d? Eu??au??a在最优努力程度a*处，根据经济学原理有 ??(a,?)v??c(a)E?E （8.8）
?au??a式（8.8）就是通常的“边际成本等于边际收益”法则的一种变体，即委托人在“边际效用的减少等于边际效用的增加”处达到期望效用的最大化。
8.3.2 严格的数学推导
下面，我们通过严格的数学推导来获得式（8.8）。
构造问题（8.7）的拉格朗日函数[6]
L[a,s(?)]??v??(a,?)?s[?(a,?)?g(?)d? ???u[s(?(a,?))]g(?)d??c(a)?u其中，?是拉格朗日乘数。
??
最优化的一阶条件为： ?L????v???u??g(?)d??0 （8.9） ?s?L??????c(a)???????v???s??g(?)d?????u?s?g(?)d???0 ??a?a??a?a???a?如果委托人不知道g(?)，但这与前面假定的g(?)是委托人和代理人都知道的“共同知识”的假定相矛盾。倘若我们放弃g(?)是委托人知道的一个函数的假定（这是可能的，这意味着随机因素?对于委托人来说不仅是随机的，而且还是“不确定的”。不确定指随机变量的概率分布都是未知的情形），则由Wellstrass定理知由式（8.9）可得到：
?v???u??0 （8.10） 或者，我们仍然坚持g(?)是“共同知识”，但这意味着（8.10）只是一个充分条件。[7]
v?式（8.9）的第二个式子是a*满足的一阶条件，将式（8.10）代入（即??），则
u?
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式（8.9）的第二式为：
?????s?????s???c(a) ?v????g(?)?g(?)d????0 ?????a?a???a???a??即
?v????c(a)g(?)d????0 ?a?a或者写为期望算子形式： ?????v??c(a)? E?v???E? ???au?a????这正是式（8.8）。
需要注意的是，问题（8.7）不仅涉及求解给定s(?)下的最优a水平，而且还给出了求解最优的合同s(?)的问题，即一阶条件（8.10）是描绘最优合约s(?)的条件，而一阶条件（8.8）是刻画给定最优合约s(?)下的最优的a的条件。
一阶条件是一个典型的帕累托最优条件，即努力的期望边际收益等于期望边际成本。
我们称由式（8.8）决定的a*为帕累托最优努力程度。根据一阶条件（8.10），
v?v?[??s*(?)]**，其中是最优合约。这说明，在最优合约处，是一个与?s(?)s(?)??*?u?u[s(?)]v?无关的常数，因而此时也是一个与?无关的常数。这时一阶条件（8.8）变为
u?????v??c(a) E?v??? （8.11）
??au?a??8.3.3 最优风险分摊的帕累托最优条件
下面，我们来说明二个一阶条件的经济含义。下面的分析将表明，当我们考虑委托人和代理人在确定情形下的效用函数时，我们就可对一阶条件有一个十分“经济学”的理解。
记v和u分别为委托人和代理人在给定a下在不确定收入情形下的期望效用函数，则
v??v[??s(?)]g(?)d? u??u[s(?)]g(?)d?
如果记y(?)??(a,?)?s[?(a,?)]，z(?)?s[?(a,?)]，则v??v[y(?)]g(?)d?，
u??u[z(?)]g(?)d?。
当我们不考虑y(?)和z(?)是经过具体的产出?与?建立联系，而在一般意义上考察
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