?dy(?1)?d??dy(?)??2???dy(?2)?v?[y(?2)]g(?2)?d????v?[y(?1)]g(?1)?
dy(?2)v??[y(?2)]v?[y(?1)]?v?[y(?2)]v??[y(?1)]dy(?1)dy(?2) ??
g(?2) 2?g(?1)v[y(?1)]g(?2)(?1)?v??[y(?2)]v?[y(?1)]?v?[y(?2)]v??[y(?1)]?g(?1)v?[y(?1)]2v?[y(?2)]g(?2? ?v?[y(?1)]g(?1)?
g(?2)?[v?(y(?2))]2g(?2)? ???v??[y(?2)]v?[y(?1)]?v??[y(?1)]?
g(?1)?v?[y(?1)]g(?1)??dy(?1)?d??dy(?)??2??我们假定委托人是风险规避的，则有v???0，于是有?0。 dy(?2)dy(?1)此时，随y(?2)的增加而递增，委托人的无差异曲线凸向原点OP。
dy(?2)类似地，代理人的无差异曲线也凸向原点OA，见图8.1。
当?(a,?1)??(a,?2)时，过OP和OA?的两条450线是分离的，此时无差异曲线的切点必然位于两条450线之间（见图8.1），这是因为，如果E在某条450线上，则它也必然在另一条450线上，这意味着两条450线重合，这与假定相矛盾；另外，由图8.1中的几何关系不难看出，E不会在两条450线之间的区域以外的其它任何区域。
既然E不在任何一条确定性收入线（450线）上，则每一方的收入都存在不确定性。这就是说，最优合约要求每一方都承担一定的风险。让我们回忆一下本章8.2.2中谈到的张五章的工作，这正好证明了张五常关于分成制合约合理性的理论分析。
若委托人是风险中性的，代理人是严格风险规避者，则v???0，u???0，此时v?(y)为常数。
dy(?1)g(?2)v?[g(?2)]由 ??dy(?2)g(?1)v?[g(?1)]g(?2) ?(常数)?
g(?1)故委托人的无差异曲线是直线（图8.1中的L0），最优合约在n点。此时代理人的收入是确定的（n在其确定性收入线上），他不承担任何风险。此时所有风险都由委托人承担。这说明，不惧风险者应承担较多的风险。
事实上，此时v?[g(?)]为常数，则一阶条件（8.10）变为
339
常数?常数 *?u[s(?)]因u?是递减函数，故必有s*(?)?常数s，所以，代理人收入与产出?无关。 类似地，若委托人是严格风险规避者，代理人是风险中性者，则v???0，u???0（u?为常数）。
此时代理人的无差异曲线为直线L0（只要无差异曲线为直线，斜率总为?g(?2)），g(?1)最优合约在m点，此时委托人得到固定收入y(?1)?y(?2)???s(?)?y0，代理人承担全部风险(z?s(?)???y0)。
若委托人和代理人都是风险中性者(v???u???0)，则委托人和代理人的无差异曲线
g(?2)都是直线，且两人的无差异曲线有相同斜率?。这时，直线L0上的所有点都是最
g(?1)优的。
v?[??s*(?)]一般地，一阶条件??隐含地定义了最优合约s*(?)。 *u?[s(?)]我们在一阶条件两端对?求导，得：
?ds*?*v??[??s(?)]??1?d???v?[??s*(?)]u??[s*(?)]?ds*???????0 **2????u[s(?)]u[s(?)]?d???ds*?ds****故v??[??s(?)]??1?d???u?[s(?)]?v?[??s(?)]u??[s(?)]d??0
??*两边同除u?，得
?ds*?v?[??s*(?)]ds**?v????1?d????u?[s*(?)]u??[s(?)]d??0
??v?[??s*(?)]由一阶条件??，代入上式得：
u?[s*(?)]?ds*?ds*?v????1?d?????u??d??0
??v??u????????令p，A分别是委托人和代理人的绝对风险规避度，解上式得：
v?u?ds*v??? （8,13）
v?d?v???u??u?v???v? ?v??u????v?u?
340
??p?p??A
式（8.13）说明：代理人的支付s*与产出?的关系完全由绝对风险规避度的比率决ds*1定（即）。 ??d?p1??A给定?p?0，?A?0（即双方均为风险规避者），则代理人的支付s*是?的增函数
ds*ds*ds*?0）?0，此时（，但上升幅度小于?上升的幅度（即。当?p?0时，?1）d?d?d?s*与?无关；
ds*?1，s*的增幅与?相同。 当?A?0时，d?当委托人和代理人都具有不变的绝对风险规避度时[9]，即若?p和?A与各自的收入
水平无关时（都为常数），则对式（8.13）积分：
s*????? （8.14） 此时，最优合约s*(?)是线性的，其中???p?p??A，?为积分常数。
我们以上的分析是在给定最优努力水平a?a*下的情形进行的。此时，影响产出?的因素只有随机因素?。在给定a的情形，对收入的分配不仅有存在参与约束给出的约束，而且还存在风险分摊的帕累托最优原则给出的约束。所谓风险分摊的帕累托最优原则，就是指当我们将风险引入效用函数时，不怕风险（如风险中性者）应承担全部风险，或绝对风险规避度较小的风险规避者应承担较大的风险。在委托人与代理人的无差异曲线的切点处，就是这种风险分摊的帕累托最优点或帕累托最优风险分摊点。
一阶条件（8.10）说明，当信息对称时，帕累托最优风险分摊是能够实现的。
8.3.4 最优努力水平的决定：激励问题
下面，我们再来看决定最优努力程度a*的一阶条件。最优努力程度的刻画是激励问题，其一阶条件就是式（8.8）。
设委托人是风险中性的，则v???0，v?为常数（委托人是公司时，可假定是风险中性的，见Mereon（19 ）。
不妨设v??1，则一阶条件（8.8）变为：
???1??cE??E? ?a?u???a据前面的分析，一阶条件（8.12）保证在最优风险分摊下，代理人的收入是确定的
341
（给定每一个a）。故
u?[s*(?)]?u?(s0)是确定的，于是有
11E? u?u??1?cE? （8.15） ?au??a????(a,?)1????g(?)d?是期望边际产出，其中，E是代理人在货币收入与努?a?au??a力之间的边际替代率。为了理解后一点，只需注意到代理人的净效用函数为
U?u[s(?)]?c(a)，边际替代率为
?U?c??a??a ?U?u?s?s1?c? u??a因为代理人的净效用函数为：
U?u[s(?)]?c(a)
无差异曲线为方程U0?u[s(?)]?c(a)所隐含的曲线，其中U0为常数。 在方程两端求微分：
?c0?u?[s(?)]ds?da
?a?cdsc???a?，这是无差异曲线的斜率 故
dau?[s(?)]u?ds??????cu?cud2sda 于是2?2dau?c?c??u??c?u??u? ?u?2c?2c??u??u??u??0 ?u?2所以，无差异曲线是凸的，见图8.5。
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E?,s
E?
u
代理人的无差异曲线
a
图8.5 最优努力水平
因有E?(a,?)???(a,?)g(?)d? 故
?E???(a,?)??g(?)d? ?a?a*a
据前面的假定：?(a,?)在给定的?下是a的严格递增凹函数。
???0 所以，?a?E??0 ?a故E?是a的严格递增函数。
又因为?(a,?)是a的严格凹函数，于是
?2??0 2?a?2E??2?(a,?)??g(?)d??0 或
?a2?a2所以，E?是a的严格凹函数，见图8.5。
?c?E?式（8.5）说明E?线的斜率等于代理人的无差异曲线斜率?a。
?au?在a*点处，期望边际产出等于边际替代率，故a*是最优努力水平。
s*是独立于?的因为这里假定委托人是风险中性的，根据最优风险分摊的条件，（代
理人的收入是确定的s*）。
显然，委托人最优的支付水平s*满足
**?u(s)g(?)d??c(a)?u
因s*是与?无关的，故u?u(s*)?c(a*)
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