y(?)和z(?)与?的联系的情形，对于委托人和代理人来说，y(?1)与y(?2)的边际替代率dy(?2)dz(?2)，以及z(?1)对z(?2)的边际替代率可分别计算如下： dy(?1)dz(?1)?v?vdy(?2)??0 ?y(?1)?y(?2)dy(?1)?vdy(?2)?y(?1)v?[y(?1)]g(?1)????
?vdy(?1)v?[y(?2)]g(?2)?y(?2)同理有
dz(?2)u?[z(?1)]g(?1) ??dz(?1)u?[z(?2)]g(?2)在最优合约下，若y(?)???s*(?)，z(?)?s*(?)，由一阶条件（8.10）有：
v?[??s*(?)] （8.12） ??*?u[s(?)]v?[y(?)] ?
u?[z(?)] =与?无关的常数
v?[g(?1)]v?[g(?2)]于是有 ?u?[z(?1)]u?[z(?2)]即 ?故有
v?[y(?1)]u?[z(?1)] ??v?[y(?2)]u?[z(?2)]dy(?2)dz(?2) ?dy(?1)dz(?1)这说明，在最优合约下，在由任意的两种随机情形?1和?2下的收入构成的edgeworth盒中，委托人与代理人的无差异曲线是相切的，[8]见图8.1。
?(a,?1)?y(?1)?z(?1)
45 0 m 450 E n V0 L0 OA
u 334
OP ?(a,?2)?y(?2)?z(?2)
图8.1 帕累托最优风险分摊合约
这是典型的帕累托最优条件。我们来分析，这种帕累托最优是针对什么样的分配来说的。
当一个消费者的收入是在不确定性环境下取得的时，他的效用会因“风险”的引入而与确定性收入环境下有所不同。譬如，当一个消费者不喜欢风险时，他的效用会在给定收入水平下随风险的上升而下降。此时，他宁愿支付一个价格去减少风险，这种购买行为称为“保险”。但是，不是所有消费者在所有收入水平下都是不喜欢风险的。有时，消费者在风险上升时效用会上升。譬如，当购买一张电脑彩票中奖的概率为百万分之一，头奖为一百万元且一张电脑彩票的价格为2元钱时，如果潜在的奖励只有百万分之一的一百万元奖金，则买一张电脑彩票的期望收入为106?10?6?1元，期望净收入?1?2??1元。但是，即使在这种净期望收入为负数的情况下，也不排除有人会购买电脑彩票。这是因为，即使购买一张彩票的期望收入小于购买彩票的价格，但未来收入是随机的，当未来收入偏离期望收入时，可能中大奖而仅花2元钱就获得一百万元。这种可能性会诱使一些“喜欢风险”的人去购买彩票。
这样，消费者在风险面前实际上是有着不同的偏好的。假若我们用k表示风险，且
k愈大风险愈大，用w表示期望收入水平，则消费者的效用函数可以表达为
u?u(w,k)
?u?u?u?0，但不必有?0。按照并且有的符号，我们可以将消费者对风险的偏?w?k?k好分为三类，且它们都是外生的。
为了解说这三类情形，我们不妨设消费者的效用函数为u?u(w)，w为消费者的未来收入。在存在收入上的不确定性时，不妨设收入可能取的数值只有w1和w2两种可能，各自发生的概率分别为p1和p2。
期望收入为w?p1w1?p2w2，p1?p2?1 V-N-M期望效用函数为u?p1u(w1)?p2u(w2)
1．当消费者不喜欢风险即收入上的不确定性时，他宁愿选择获得一个确定性的收入水平w?w，也不喜欢在不确定性下（尽管也获得同样的期望收入水平w，但实际上获得的收入是不确定的）按同样期望收入随机地获得w1或w2。这时应有
335
u(w)?u(p1w1?p2w2)?p1u(w1)?p2u(w2)?u
图8.2表明：此时要求u(w)是凹的，即收入的边际效用递减。
u(w) u(w2) u u(w1)
w w1 w w2
图8.2 风险规避
称消费者是风险规避（risk-averse）型的，此时有u???0。 2．当消费者不介意风险，有
u(p1w1?p2w2)?p1u(w1)?p2u(w2)
u(w) u(w2) u u(w1)
w w1 w w2
图8.3 风险中性
称消费者为风险中性（risk-neutral）型的，此时有u???0，见图8.3。 3．当消费者偏好风险时，有
u(p1w1?p2w2)?p1u(w1)?p2u(w2)
336
u(w) u(w2) u u(w1)
w w1 w w2
图8.4 风险偏好
称消费者为风险偏好（risk prefer）型的，此时有u???0。
需要指出的是，在经济学中，尽管有戈森第一定律假定消费者对物品的消费呈边际效用递减趋势，但经济学自身的逻辑体系并不能保证消费者对收入的边际效用也一定呈递减趋势，因而消费者不一定是风险规避的。
显然，在金融市场上进行投机的人一般都是风险偏好者，就象前面提到的电脑彩票购买者是风险偏好者一样，他们希望风险愈大愈好，这样他们的未来收入就愈可能偏离期望收入而使他们获得更大的获取暴利的机会。
一般地，我们可以假定同一个消费者在不同收入水平的变动范围内具有不同的风险态度，如收入较低时是风险规避的，很怕风险，但收入较高后就喜欢风险了，变成了风险偏好者。由此获得的推论是，低收入者投资于债券等低风险金融产品，高收入者投资于股票等高风险金融产品。当然，也不尽然，如在香港，我们发现低收入者是主要的赌马者，而赌马是风险的。一个自然而然产生出来的问题是，有没有一种可测量的指标可用于对消费者对风险的态度进行计量？
显然，当u???0且u??愈大时，消费者就可被理解为愈怕风险，这是否意味着可用
u???u?u??作为计量消费者风险规避程度的指标呢？不能，这是因为，效用函数不是唯一的，u在严格单调递增函数的复合下仍为效用函数，若用?u??作为刻画消费者规避风险程度的指标，则其数值大小在不同的效用函数下会取不同的数值，有的效用函数给出的?u??较大，而另一些效用函数给出的?u??较小，是不确定的。那么，如何才能刻画消费者对风险的态度呢？我们希望找到一种指标，它在效用函数的严格递增函数的复合下是一个不变量。但可惜这是做不到的。现在只有后退一步，是否能找到一种指标，它在效用函数的正的严格单调递增线性变换下是不变量。
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设v?a?bu，a,b为常数，b?0 因为v???bu?? 自然想到构造
v??bu??u???? ???vbuu?1?dln??v??u???u??作为这种指标，当消费者是风险规避者时，所以，可以用r?????v?u?dw有r?0。
我们称r??u??为消费者的阿罗——普拉特绝对风险规避度（Arrow-Pratt measure of ?uabsolute risk aversion）。r愈大，消费者愈怕风险。
在图8.1中，委托人的无差异曲线以OP为原点，代理人的无差异曲线以OA为原点。在450线上，对应局中人在不同的随机状态下获得相等的收入。这里，我们仅考察?在?1和?2之间取值，但?1和?2是任意的。这样做的唯一目的是使我们能够在二维图形上进行分析。因此，在450线上，局中人没有承担任何风险，即450线是零风险的确定性收入曲线。
下面，我们来计算无差异曲线在对应的确定性收入线上的斜率。对于委托人，有
y(?2)??(a,?2)?s[?(a,?2)]??(a,?1)?s[?(a,?1)]?y(?1)
dy(?1)无差异曲线斜率?（对应于图8.1中的坐标轴）
dy(?2)v?[y(?2)]g(?2) ??
v?[y(?1)]g(?1)g(?2) ??
g(?1)f[?(a,?2),a] ??
f[?(a,?1),a]显然，无差异曲线在对应的确定性收入线上的斜率是相同的。对于代理人而言，也是类似的，并且，在各自的确定性收入线上，两人的无差异曲线的斜率相等。
最优合约的一阶条件（8.10）的几何含义就是：代理人的无差异曲线u与委托人的无差异曲线v0的切点E决定了最优合约在?1和?2两种状态下对产出?在委托人和代理人之间的分配。
在给定a?a*的情况下，任何?的实现值都给出了一个对应的产出?(a,?)，而对
?(a,?)的分配当?取任意值时实际上就完全决定了合约s*(?)。
下面再计算委托人无差异曲线斜率的系数：
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