1. 设f(x)?cosx(x?sinx),则在x?0处有( ).
（A）f?(0)?2 （B）f?(0)?1（C）f?(0)?0 （D）f(x)不可导.
1?x2. 设?(x)?1?x，?(x)?3?33x，则当x?1时（ ）.
（A）?(x)与?(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B）?(x)与?(x)是等价无穷小；
（C）?(x)是比?(x)高阶的无穷小； （D）?(x)是比?(x)高阶的无穷小.
x3. 若F(x)??0(2t?x)f(t)dt，其中f(x)在区间上(?1,1)二阶可导且f?(x)?0，则（ ）.
（A）函数F(x)必在x?0处取得极大值； （B）函数F(x)必在x?0处取得极小值；
（C）函数F(x)在x?0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线y?F(x)的拐点；（D）函数F(x)在x?0处没有极值，点(0,F(0))也不是曲线y?F(x)的拐点。14.
设f(x)是连续函数，且 f(x)?x?2?0f(t)dt , 则f(x)?(x2x2（A）2 （B）2?2（C）x?1 （D）x?2.
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 25.
limsinxx?0(1?3x)? .
6.
已知cosxx是f(x)的一个原函数,则?f(x)?cosx . xdx???7.
nlim??n(cos2?n?cos22n???cos2n?1n?)? .
1?2x2arcsinx?18. －11?x2dx?2 .
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）
9. 设函数y?y(x)由方程
ex?y?sin(xy)?1确定，求y?(x)以及y?(0). 1?x10. ?7求x(1?x7)dx.
设f(x)????xe?x， x?0 求11. ??2x?x2，0?x?1? 1?3f(x)dx．
)
12. 设函数f(x)连续，
g(x)??f(xt)dt01，且x?0limf(x)?Ax，A为常数. 求
g?(x)并讨论g?(x)在x?0处的连续性.
1y(1)???xy?2y?xlnx9的解. 13. 求微分方程满足
q
?f(x)dx?q?f(x)dx001.
?f(x)dx?0?f(x)cosxdx?0?14. 设函数f(x)在?0,??上连续，且，.
00?证明：在?0,??内至少存在两个不同的点?1,?2，使f(?1)?f(?2)?0.（提
示：设
F(x)??f(x)dx0x）
一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
e35.
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导
x?y??e(1?y??)coxys(xy)(y? )
ex?y?ycos(xy)y?(x)??x?ye?xcos(xy)
x?0,y?0，y?(0)??1 77x6dx?du 10. 解：u?x 6?1cosx2 ()?c . 6.2x.7. 2. 8.
?.
原式?1(1?u)112du?(?)du??7u(1?u)7uu?1
1?(ln|u|?2ln|u?1|)?c7 12?ln|x7|?ln|1?x7|?C77 ?x2f(x)dx?xedx?2x?xdx??3??3?00110111. 解：
???3xd(?e?x)??01?(x?1)2dx002
?x?x2??(令x?1?sin?)??xe?e???3????cos?d?
12. 解：由f(0)?0，知g(0)?0。
1xt?u??4?2e3?1
g(x)??f(xt)dt?0x?f(u)du0xx (x?0)
g?(x)?xf(x)??f(u)duxx02 (x?0)
g?(0)?lim0x?0?f(u)dux2?limx?0xf(x)A? 2x2
?A?AA?22，g?(x)在x?0处连续。
limg?(x)?limx?0x?0xf(x)??f(u)dux02dy2?y?lnx13. 解：dxx
?xdx(e?xdxlnxdx?C)y?e?
11?xlnx?x?Cx?29 3
111y(1)??C,?0y?xlnx?x939 ，
?22四、 解答题（本大题10分） 14. 解：由已知且
y??2?0ydx?yx，
将此方程关于x求导得y???2y?y?
2特征方程：r?r?2?0
解出特征根：r1??1,r2?2.
其通解为
y?C1e?x?C2e2x
21C1?,C2?33 代入初始条件y(0)?y?(0)?1，得
21y?e?x?e2x33 故所求曲线方程为：
五、解答题（本大题10分）
15. 解：（1）根据题意，先设切点为(x0,lnx0)，切线方程：
y?lnx0?1(x?x0)x0
1y?xx?ee 由于切线过原点，解出0，从而切线方程为：
1A??(ey?ey)dy?e?120则平面图形面积
11V1??e23（2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则
曲线y?lnx与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积
为V2
V2???(e?ey)2dy01
6D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）
q1qqV?V1?V2??(5e2?12e?3)1q
16. 证明：0q?f(x)dx?q?f(x)dx??f(x)dx?q(?f(x)dx??f(x)dx)0001q
?(1?q)?f(x)dx?q?f(x)dx0
f(?1)?f(?2)?1?[0,q]?2?[q,1]?q(1?q)f(?1)?q(1?q)f(?2)1?故有：
q0
?f(x)dx?q?f(x)dx00 证毕。
x17.
证：构造辅助函数：
?F(x)??f(t)dt,0?x??0。其满足在[0,?]上连续，在(0,?)?0上可导。F?(x)?f(x)，且F(0)?F(?)?0 由题设，有
?0??f(x)cosxdx??cosxdF(x)?F(x)cosx|??sinx?F(x)dx000??，
F(x)sinxdx?0?有，由积分中值定理，存在??(0,?)，使F(?)sin??0即
0F(?)?0
综上可知F(0)?F(?)?F(?)?0,??(0,?).在区间[0,?],[?,?]上分别应用罗
尔定理，知存在
?1?(0,?)和?2?(?,?)，使F?(?1)?0及F?(?2)?0，即f(?1)?f(?2)?0.
高等数学I 解答
一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）
(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)
1. 当x?x0时，
??x?,??x?都是无穷小，则当x?x0时（ D ）不一定是
22(B) ??x????x?
无穷小. (A) (C)
??x????x?
ln?1??(x)??(x)?
1x?a?2(x)(D) ?(x)
?sinx?lim??x?asina??2. 极限
（A） 1
的值是（ C ）. （B） e
（C）
ecota （D） etana
?sinx?e2ax?1x?0?f(x)??x?x?0在x?0处连续，则a =（ D ）. ?a3.
（A） 1
（B） 0
（C） e
（D） ?1
f(a?h)?f(a?2h)?h?0f(x)x?ah4. 设在点处可导，那么（ A ）.
（A） 3f?(a) （B） 2f?(a)
lim(C) f?(a)
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
1f?(a)（D） 3
ln(x?a)?lna1(a?0)x5. 极限x?0的值是 a.
xye?ylnx?cos2x确定函数y(x)，则导函数y?? 6. 由
y2sin2x??yexyx . ?xyxe?lnx,,3)且与两平面x?2y?z?0,2x?3y?5z?6都平行，则直7. 直线l过点M(12x?1y?2z?3???1?1 . 线l的方程为 1lim2y?2x?ln(4x)8. 求函数的单调递增区间为 （－?，0）和（1，+? ） .
三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）
(1?x)?ex9. 计算极限x?0.
lim1x