?x2??c1 xxdx????2?0,????x22?c2 x?0.
由原函数的连续性,得x2x?o?2?c?x2lim(1)xlim(?o??2?c2) ?c1?c2 令c1?c2?c
???xdx??x2??2?c, x?0,?x?x????x22?c.2?c, x?0
5、(本小题8分)
因为
1?1??x2????x??111x?x?01?x?x0 x
0 ……3分
1n??而 1?x???1?xnx???1,1?n?0 ……5分
1n?1所以 xx????1??x?x0?nnx??0,2x0?0n?0x0 1n?1n?x?x0?n?12?
????1? xn?0xn?1x??0,2x0?0 ……10
分
五、解答下列各题 ( 本 大 题5分 )
由题意,知:
当
x?2时, 级数绝对收敛； ……4分
当x?2时, 级数不可能收敛. ……8分 故收敛半径是2. ……10分 六、解答下列各题
(本大题共2小题，总计16分) 1、(本小题7分)
如图 4y?6x?a y?a4?32x 总面积为A?3xy?3x(a34?2x)
5分
10分3分
dAdx?3a4?9x 当x?a12时,dAdx?0 d2Adx2??9?0
故当x?a12时,A取得唯一极大值也是最大值
此时 y?a3aa4?2?12?8故当x?aa12，y?8时,所求总面积最大
2、(本小题9分)
解:y??2e2x. 设切点(tt0,e20),?切线y?2e2t0x, ???y?e2t0,1??y?2e2tt 0t0?02 切线y?2ex, 切点(12,e)
1?s??2??e2xdx?12?12?e
12x1211 ?2e???4e?4e. 七、解答下列各题
( 本 大 题6分 )
f(0)?1，f(0?0)?xlim?0?0ln(1?x)?0f(0?0)?xlim?0?0coshx?1 f(x)在x?0处不连续,故不可导 ?sinhx，x?0，f?(x)?????1?1?x，x?0，
八、解答下列各题
( 本 大 题6分 )
原式?limax?bxx?02ln(1?2x) ax?limlna?bxlnbx?04 1?2x
?14lnab
九、解答下列各题 ( 本 大 题12分 )
6分 8分
10分
3分 6分 8分 10分
3分 5分
10分
5分
10分
因为r2?x2?f2(x)，??arctan?bf(x)xf?(x)?f(x)，d??2dx2xx?f(x)
4分 6分
于是 ?r2(?)d????xf?(x)?f(x)?dx?a??xf?(x)dx??f(x)dxaabb
ba?xf(x)ba??f(x)dx??f(x)dxab 8分
?bf(b)?af(a)?2?f(x)dxab
10分
所以 2?f(x)dx??r(?)d??bf(b)?af(a)ab?2?一、 一、 填空
1.
?cosx,x?0??x?2f(x)??(a?0)?a?a?x,x?0?x?1. 设当a= 时，
x=0是f(x)的连续点。
解：
1cosx1a?a?x1lim?lim?2x?0?x?22x?0?x2a故a?1时x?0是连续点，a?1时x?0是间断点。
dy设方程x?y?arctany?0确定了y?y(x),求dx＝ 。 2．
y?1?y21?y???0y??221?yy解：
f(0)?1?acos2x?bcos4xlimx43． x?0 ＝A，则a= ，b= ， A= 。
解：要使极限存在，分子与分母应是极限过程中的同阶无穷小或高阶无穷小，
于是有1＋a+b=0，用一次罗必达法则分子仍为无穷小，有a+4b=0 解出：a=-4/3 b=1/3 代入求得极限A＝8/3 4．函数y?x2的极小值点为 。
解：y??2?1?xln2?驻点驻点为极小值点。
5．设f (x) = x lnx在x0处可导，且f’(x0)=2,则 f (x0)= 。
xxx??1x2ln2,y???2(2ln2?x(ln2))在驻点处y’’>0,故
f(x0)?e. 解：f?(x)?lnx?1,由f?(x0)?2知x0?e,于是有6.设limx?0f?x??f?0???1,x2则f(x)在x=0取得 （填极大值或极小值）。
解：
?lim二、
f?x??f?0?f?x??f?0?＝－1,由极限的保号性有?0,有f?x??f?0??022x?0xx即在x?0的某邻域内有f?x??f?0?,由极值定义知x?0是极大值点。 ?1?x?1?x?0函数f(x)??x?x?0 是否连续？是否可导？并求f(x)的导函数。 ?0,解：当x>0及x<0时，，f(x)为初等函数，连续。
1?x?1x?lim?0x?0?x?0?x?0?x1?x?1limf(x)?0?limf(x)?f(0)?f(x)在???,??连续。limf(x)?limx?0?x?0?当x?0时，f?(x)?1?x?1,当x?0时，f?(x)?03/22x1?x1?x?1?0f(x)?f(0)1xlim?lim?lim??x?0?x?0?x?0?xxx(1?x?1)?1?x?1??f(x)在x?0不可导， f?(x)??2x3/21?xx?0,?x?0?0三、 1．x?0三、 解下列各题
?1?2x?2x?1limx2limx?01
?1?2x?2x??2ln?1?2x???解：原式＝2．x??解：原式＝
1x?4x??1?2x?2x?1?2?2?4.
limx2(3x?3x?2)1x；
1x?1x11?3?3?2ln33?3ln3lim?lim??limln3(3x?3x)??ln3?2x??x??2112x??xx2
?x?t?2?sint设曲线方程为??y?t?cost,求此曲线在x=2 的点处的切线方程,及3．
d2ydx2x?2。
x?2时y?1,t?0y??y???解：
sint?cost?1?1?cost?31?sint11y?t?0?切线方程：y?1??x?2?1?cost22sin0?cos0?11y??x?2???4?1?cos0?3
四、 四、 试确定a,b,c的值，使y=x3+ax2+bx+c在点(1,-1)处有拐点，且在
x=0处有极大值为1，并求此函数的极小值。 解：
五、 五、 若直角三角形的一直角边与斜边之和为常数，求有最大面积的直角三角
形。
解：设所给直角边为x,斜边与其之和为L，则
y??3x2?2ax?b,y??0??0?b?0,y(0)?1,c?1.y???6x?2a,y??(1)?6?2a?0,a??3.y?x3?3x2?1,y??3x2?6x?3x(x?2)y??0时，驻点： x1?0,x2?2,y???0??6?0.?极小值y(2)??3。
1x2x?L?x?2?x2?L?2Lx22?LL?3x1?xs???L2?2Lx???22?L?2Lx?2L2?2LxL令s??0?x?这是唯一驻点，且最大值存在，故3??L?L2s???为最大面积，此时x边与斜边夹角为3 ?3?63??六、 六、 证明不等式：???,?e?????.
lnx1?lnx证：令f(x)?则f?(x)??0(x?e)2xxln(?)ln(?)?f(x)在(a,??)上单减，f(?)?f(?), 即 ????ln(?)??ln(?)?ln???ln????????. s??2?limnf??.n???n? 七、 七、 y=f(x)与y=sin(x)在原点相切，求极限
解：f(0)?sin(0)?0.f?(0)??sinx??x?0?cos0?1,?当x?0时f(x)与x是等价无穷小，2f?2/n??2? limnf???lim?2n??n??n2/n??
八、 设 f (x)在[0,1]上连续且在 (0,1 ) 内可导，且f (0) = f (1) = 0, f (1/2) = 1.
八、
证明：(1)至少有一点ξ∈(1/2,1)，使得f(ξ)= ξ; (2)???R ，存在??(0,?)，使得f’(?)-?[f(?)-?]=1 证：（1）令F(x)=f(x)-x,则f在[0,1]连续，在(0,1)可导， F（1/2）=f(1/2)-1/2>0
F(1)=f(1)-1=0-1<0,∴在(1/2,1)内至少有一点?，使F（? ）=0,即f (?)=?.。 (2) 证：