(1?x)?ee?1ln(1?x)?xe?elim?elim??x?0x?0xxx22 解：x?0??????|a|?3|b|?26|a10. 已知：，，a?b?30，求?b|。 ??a?b512cos?????,sin??1?cos2????13ab13a?b?72lim解：
，
1x1ln(1?x)?1x
11. 设
f(x)在[a，b]上连续，且
xxaaF(x)??(x?t)f(t)dtx?[a,b]ax，试求出F??(x)。
解：
F(x)?x?f(t)dt??tf(t)dtx
xF?(x)??f(t)dt?xf(x)?xf(x)??f(t)dtaaF??(x)?f(x)
cosxxdx.3?sinx12. 求 cosx1?2xdx??xdsinx3??2解：sinx 1111??xsin?2x??sin?2xdx??xsin?2x?cotx?C2222
四、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）
13. 求
?x2312322dxx2?1.
1令 ?tx
原式??1t1(?1)dt2t1?1t2
21?t 6 2xy?1?x2 的极值与拐点. 14. 求函数
2??132dt?arcsint3212??解：函数的定义域（－?，+?）
?4x(3?x2)2(1?x)(1?x)y???y??2322(1?x)(1?x)
令y??0得 x 1 = 1, x 2 = -1
y??(1)?0 x 1 = 1是极大值点，y??(?1)?0x 2 = -1是极小值点 极大值y(1)?1，极小值y(?1)??1
令y???0得 x 3 = 0, x 4 = x (-?,-3, x 5 = -3 3,0) + (0, 3) (-3) (3,+?) + y?? － － 33故拐点（-3，-2），（0，0）（3，2）
x3y?24与y?3x?x所围成的平面图形的面积. 15. 求由曲线
x3解:?3x?x2, x3?12x?4x2?0,4
x(x?6)(x?2)?0, x1??6, x2?0, x3?2.
0x32x322S??(?3x?x)dx??(3x?x?)dx?6404 4334x3x03xx2?(?x2?)?6?(x2??)016232316
11?45?2?4733
216. 设抛物线y?4?x上有两点A(?1,3)，B(3,?5)，在弧A B上，求一点P(x,y)使?ABP的面积最大.
解：
AB连线方程：y?2x?1?0 AB?452x?y?1?x2?2x?3点P到AB的距离? (?1?x?3)55?ABP的面积
1?x2?2x?3 S(x)??45??2(?x2?2x?3)25
S?(x)??4x?4 当x?1 S?(x)?0 S??(x)??4?0当x?1时S(x)取得极大值也是最大值 此时y?3 所求点为(1，3)
另解：由于?ABC的底AB一定,故只要高最大而过C点的抛物线2的切线与AB平行时,高可达到最大值,问题转为求C(x0，4?x0),使f?(x0)??2x0??5?33?1??2, 解得x0?1,所求C点为(13,)
六、证明题（本大题4分）
17. 设x?0，试证e
证明：设
2x(1?x)?1?x.
f(x)?e2x(1?x)?(1?x),x?0
f?(x)?e2x(1?2x)?1，f??(x)??4xe2x，
f??(x)?0，因此f?(x)在（0，+?）内递减。
在（0，+?）内，f?(x)?f?(0)?0,f(x)在（0，+?）内递减， x?0,在（0，+?）内，亦即当 x>0时，e2xf(x)?f(0),即e2x(1?x)?(1?x)?0
(1?x)?1?x 。
高等数学I A
一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 18. 函数
?ln(x?1)?x?1,x?1???f(x)??tanx,0?x?1?2?x?sinx,x?0?? 的全体连续点的集合是 （ ）
(A) (-?,+?) (B) (-?,1) ?(1,+ ?)
(C) (-?,0)
? (0,
+?)
(D) (-?,0)
? (0,1) ? (1,+ ?)
19.
x2?1lim(?ax?b)?0x??x?1设，则常数a,b的值所组成的数组（a,b）为（ ）
（A） （1，0） （B） （0，1） （C） （1，1） （D） （1，-1） 20.
f(x)二阶可导且f??(x)?0，则（ ）
（A）f?(0)?f?(1)?f(1)?f(0) (B) f?(0)?f(1)?f(0)?f?(1) (C) f?(1)?f?(0)?f(1)?f(0) （D）f(1)?f(0)?f?(1)?f?(0)
设在[0，1]上
?2??22sinxcos4x34M??dx,N??(sinx?cosx)dxP??(x2sin3x?cos4x)dx21?x???2221.
则（ ）
（A） M < N < P （B） P < N < M （C） P < M < N （D） N < M < P
二 填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
???221. 设x?1d(xarctanx?1)?（ ）
f(x)dx?sinx?c,?f2. 设?则
(n)(x)dx?（ ）
x?4yz?5??3. 直线方程2?mn6?p，与xoy平面，yoz平面都平行，
那么m,n,p的值各为（ ）
ie2x???ni?14. lim?n?i????n?2?（ ）
三 解答题（本大题有3小题，每小题8分，共24分）
1??1lim?2?2?1. 计算 x?0?sinxx?
1?2?xcos,x?0f(x)??x?x?0试讨论f(x)的可导性，并在可导处求出f?(x) ?x2. 设
3. 设函数y?f(x)在(??,??)连续，在x?0时二阶可导，且其导函数f?(x)的图形如图
所示，给出
f(x)的极大值点、极小值点以及曲线y?f(x)的拐点。
y x a O b c d 四 解答题（本大题有4小题，每小题9分，共36分） 1. 求不定积分
e?(x?22dx)x?1x
?lnxdx2. 计算定积分
1e
3. 已知直线
l2的平面方程。
l1:xyz?1??123l2:x?1y?2z?3??254,求
l1且平行于直线
81?y?ax54. 过原点的抛物线及y=0,x=1所围成的平面图形绕x轴一周的体积为，确定
2抛物线方程中的a，并求该抛物线绕y轴一周所成的旋转体体积。
五、综合题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）
21. 设F(x)?(x?1)f(x)，其中f(x)在区间[1,2]上二阶可导且有f(2)?0，试证明存在
?（1???2）使得F??(?)?0。
2.
f(x)??(t?t2)sin2ntdt(x?0)0x（1） 求
f(x)的最大值点；
f(x)?（2） 证明：
1(2n?2)(2n?3)
一、单项选择题 B D B C.
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
5. 6. 7. 8.
x1(?4arctanx?1)dxdy?2x?1.
n?n?(n)cos(x?)dx?sin(x?)?c?f(x)dx??22. m?2,p??6,n?0. 1(e?1)2.
lim(x?0三、解答题（本大题有3小题，每小题8分，共24分）
9. (8分)计算极限
11?)sin2xx2.
11x2?sin2xlim(2?2)?lim22x?0xsinx 解：x?0sinxxx?sinxx?sinx?limx?0x3x
1?cosx1?2lim?x?03x23
1?2xcos,x?0?f(x)??x?x?0，试讨论f(x)的可导性，并在可导处求出?x10. (8分)设
f?(x).
11x?0,f?(x)?2xcos?sinxx；当x?0,f?(x)?1 解： 当1?0?x?0?xx?0f?'(0)?lim?0f?'(0)?lim?1?x?0??x?0??x?x
11?2xcos?sinx?0?f??x???xx?x?0 ?1故f (x)在x=0处不可导。
11. (8分)设函数y?f(x)在(??,??)连续，在x?0时二阶可导，且其导函数
f?(x)的图形如图.给出f(x)的极大值点、极小值点以及曲线y?f(x)的拐
?x2cos点.