y x a O
解：极大值点：x?ax?d 极小值点：x?b
b c d 拐点(0,f(0)),(c,f(c))
四 解答题（本大题有4小题，每小题9分，共36分）
(x?2)2dx2?x(x?1)12. (9分)求不定积分 .
41?3(??)dx2?x(x?1)x?1解：原式=
14lnx??3lnx?1?cx?1 =
?13. (9分)计算定积分
11ee1elnxdx.
e1??lnx?dx??lnxdx?解：原式=
?????xlnx?x???1??xlnx?x?1e1e?2?xyz?1x?1y?2z?3l1:??l2:??123，254,求过直线l1且平行于14. (9分)已知直线
2e
???n解：?s1?s2?(1,2,3)?(2,5,4)?(?7,2,1)
取直线l1上一点M1(0,0,1) 于是所求平面方程为
直线l2的平面方程.
?7x?2y?(z?1)? 02)及y=0, x=1所围成的平面图形绕x15. (9分)过原点的抛物线y?ax (a?0
81?5轴一周的体积为. 求a，并求该抛物线绕y轴一周所成的旋转体体积.
52222x?aV???(ax)dx??a?505 0解：
?a281??2y?9x55由已知得 故 a = 9 抛物线为：
11x492V??2?x?9xdx?18???402 0绕y轴一周所成的旋转体体积：
五 综合题（每小题4分，共8分）
16. (4分)设F(x)?(x?1)11f(x)，其中f(x)在区间[1,2]上二阶可导且有f(2)?0.
证明：存在?（1???2）使得F??(?)?0。
证明：由f(x)在[1，2]上二阶可导，故F (x)在[1，2]二阶可导，因 f (2)=0,故F (1)=F
?2)使F?(x0)?0 得F?(1)?0
(1???x0?2)F??(?)?0
2(2) = 0
在[1，2]上用罗尔定理，至少有一点x0,(1?x0
F?(x)?2(x?1)f(x)?(x?1)2f?(x)17. (4分).
在[1，x0]上对F?(x)用罗尔定理，至少有点?解：（1）x?1为f(x)的最大值点。
f?(x)?(x?x2)sin2nx，当0?x?1，f?(x)?(x?x2)sin2nx?0；当x?1，f?(x)?(x?x2)sin2nx?0。f(1)为极大值，也为最大值。
（2）
f(x)??(t?t2)sin2ntdt?f(1)0122n100x
f(1)??(t?t)sintdt??(t?t2)t2ndt?1(2n?2)(2n?3)
高等数学上B（07）解答
一、 填空题：（共24分，每小题4分）
dy?221．y?sin[sin(x)]，则dx2xcos[sin(x)]cosx。
??adx?????1?x22． 已知，a=__1______。
e21lnxdx?2??e。 3． e2xy?e4． 过原点的切线方程为y?ex。
f'(lnx)dxx?f(x)?ex5．已知，则=x?c。
39?6．a?2，b?2
32y?ax?bx(1,3)时，点是曲线的拐点。
二、计算下列各题：（共36分，每小题6分） 1．求y?(sinx)cosx的导数。
cosxlnsinxcosxlnsinx??y?(e)?e(?sinxlnsinx?cotxcosx) 解：
2．求?解：?sinlnxdx。
sinlnxdx?xsinlnx??coslnxdx
?xsinlnx?xcoslnx??sinlnxdx1?(xsinlnx?xcoslnx)?C2 x?5dx?2x?1。 3．求
?解：
x?51d(x2?1)5dx?dx?dx??2222x?1x?1x?1
22?x?1?5ln|x?x?1|?C
x?x?0?e,f(x)??kx?0在点x?0处可导，则k为何值？ ??x?1,4．设
xkf??(0)?lim?limxk?1x?0?xx?0?解： ex?1f??(0)?lim?1x?0?x k?1
111lim(22?22???22)n??n?1n?2n?n。 5．求极限
解：
111????)222222n??n?1n?2n?nn1?lim?22n??k?1n?k n11?lim?n??k?1k2n1?2n
11??dx201?x =
lim(21?ln(x?1?x)|0?ln(1?2)
?x?2y?z?1?0?2x?y?z?0??x?y?z?1?0(2,2,0)6．求过点且与两直线?和?x?y?z?0平行的平面
方程。
解
：两直线的方向向量分别为
s1?(1,2,?1)?(1,?1,1)?(1,?2,?3),s2?(2,?1,1)?(1,?1,1)?(0,?1,?1)，平面的法向量n?(1,?2,?3)?(0,?1,?1)?(?1,1,?1)。
平面方程为x?y?z?0。
三、解答下列各题：（共28分，每小题7分）
?x?Rcostd2y?21．设?y?Rsint，求dx。
dy??cottdx解： d2y11??(?cott)??t2?RsintRsin3t dxxF(x)??t(t?1)dt[?1,2]2．求
0在上的最大值和最小值。
解：F?(x)?x(x?1)?0,x?0,x?1
1F(0)?0,F(1)??t(t?1)dt??,06?1252F(?1)??t(t?1)dt??,F(2)??t(t?1)dt?0063
25? 最大值为3，最小值为6。
223．设y?y(x)由方程x(1?y)?ln(x?2y)?0确定，求y'(0)。
122解：方程x(1?y)?ln(x?2y)?0两边同时对x求导
(1?y2)?2xyy??将
x?0,y?12代入上式
2x?2y??02x?2y
58
224．求由y?x与y?x围成的图形绕y轴旋转所得的旋转体的体积。
y'(0?)解：
V???(y?y4)dy01
四、证明题：(共12分，每小题6分)
1．证明过双曲线xy?1任何一点之切线与OX,OY二个坐标轴所围成的三角形的面积为常数。
证明：双曲线xy?1上任何一点(x,y)的切线方程为
?3?10
Y?y??1(0,y?),(2x,0)x 切线与x轴、y轴的交点为
1s?x(y?)?2x故切线与OX,OY二个坐标轴所围成的三角形的面积为
2．设函数f(x)与g(x)在闭区间[a,b]上连续，证明：至少存在一点?使得
1(X?x)x2
bf(?)?g(x)dx?g(?)?f(x)dx?axab?
证明：令
F(x)??g(x)dx?f(x)dxx
F(a)?F(b)?0，由Rolle定理，存在一点??[a,b]，使F?(?)?0，即
f(?)?g(x)dx?g(?)?f(x)dx?ab?
高等数学上解答（07）
一、单项选择题（每小题4分，共16分）
?|sinx|f(x)?xcosxe(???x???)是 A 。 1．
（A）奇函数； （B）周期函数；（C）有界函数； （D）单调函数
2f(x)?(1?cosx)ln(1?2x)与 B 是同阶无穷小量。 x?02．当时，
3452（A）x； （B）x； （C）x； （D）x
?x?2y?z?0?3．直线?x?y?2z?0与平面x?y?z?1的位置关系是 C 。
（A）直线在平面内；（B）平行； （C）垂直； （D）相交但不垂直。
??????????a?b?0, a?c?0a,b,c4．设有三非零向量。若，则b?c? A 。
（A）0； （B）-1； （C）1； （D）3
二、 填空题（每小题4分，共16分）
1．曲线y?lnx上一点P的切线经过原点(0,0)，点P的坐标为(e,1)。
tanx?x1?x?0x2(ex?1)3。 2．
y23．方程e?6xy?x?1?0确定隐函数y?y(x)，则y?(0)? 0 。
lim24．曲线y?x 、x?1与x轴所围图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为
?5。
三、解下列各题（每小题6分，共30分）
t?sin2xtf(x)?lim()t???t1．已知，求f?(x)。 t?sin2xt?sin2xf(x)?lim()?et???t解：
f?(x)??e?sinxsin2x
1[ln(lnx)?]dx?lnx。 2．求不定积分11[ln(lnx)?]dx?ln(lnx)dx?dx???lnxlnx 解:
11?xln(lnx)??dx??dxlnxlnx
2