《常微分方程》教案 第四章 高阶微分方程
第四章 高阶微分方程
4.1 线性微分方程的一般理论
4.1.1 引言
讨论如下的n阶线性微分方程
dnxdn?1xdx?at???a(t)?an(t)x?f(t)(4.1) 1n?1nn?1dtdtdt其中ai(t)(i=1,2,?,n)及f(t)都是区间a?t?b上的连续函数.
如果f(t)?0,则称方程(4.1) n阶齐次线性微分方程,否则称为n阶非齐次线性微分方程.
定理1 如果ai(t) (i=1,2,?,n)及f(t)都是区间a?t?b上的连续函数,则对于任一t0?[a,b]及任意的x0,x0(1),…,x0(n-1),方程(4.1)存在唯一解x=?(t),定义于区间a?t?b上,且满足初值条件
d?(t0)dn?1?(t0)(1)(n?1)?(t0)?x0,?x0,?,?x. 0n?1dtdt
4.1.2 齐次线性微分方程的解的性质与结构 首先讨论齐次线性微分方程
dnxdn?1xdx?a(t)???a(t)?an(t)x?0(4.2) 1n?1nn?1dtdtdt定理2(叠加原理) 如果x1(t),x2(t),…,xk(t)是方程(4.2)的k个解,则它们的线性组合 c1x1(t)+c2x2(t)+…+ckxk(t)也是(4.2)的解,其中c1,c2,…,ck是任意常数.
特别地,当k=n时,即x= c1x1(t)+c2x2(t)+…+cnxn(t),它含有n个任意常数.
讨论通解条件
先理解线性相关与线性无关的概念
考虑定义在区间a?t?b上的函数x1(t),x2(t),…,xk(t),如果存在不全为零的常数c1,c2,…,ck,使得恒等式 c1x1(t)+c2x2(t)+…+ckxk(t)?0
对于所有t?[a,b]都成立,则称这些函数是线性相关的,否则称为线性无关的.
如函数cos t 和sin t在任何区间上都是线性无关的;但函数cos2 t , sin2 t ,1在任何区间上都是线性相关
第 1 页 共 27 页
《常微分方程》教案 第四章 高阶微分方程
的.
再如函数1,t,t2,…,tn,在任何区间上都是线性无关的.
因为恒等式c0+c1t+c2t2+…+cntn?0当且仅当所有ci=0(i=0,1,2,…,n)时才成立.
由定义在区间a?t?b上的k个可微k?1次的函数x1(t),x2(t),…,xk(t)所作成的行列式
W[x1(t),x2(t),...,xk(t)]?W(t)?x1(t)?(t)x1?x2(t)?(t)x2????xk(t)?(t)xk?
(k?1)(k?1)x1(k?1)(t)x2(t)?xk(t)称为这些函数的朗斯基行列式.
定理3 若函数x1(t), x2(t),…, xn(t) 在区间a?t?b线性相关,则在[a, b]上它们的朗斯基行列式W(t)?0. 证明:
因为x1(t), x2(t),…, xn(t)线性相关，所以存在一组不全为零的常数 c1, c2,…, cn 使得 c1x1(t)+c2x2(t)+…+cnxn(t)=0, a? t ?b
现对上式对 t 依次求导到 n?1 阶，可得一方程组
?c1x1(t)?c2x2(t)?...?cnxn(t)?0?cx?(t)?cx?(t)?...?cx?(t)?0?1122nn ?......??cx(n?1)(t)?cx(n?1)(t)?...?cx(n?1)(t)?022nn?11则 c1, c2,…, cn 可看成是上述方程组的解，即上述方程组有非零解，从而知其系数行列式为零，即斯
基行列式W(t)?0.
定理4 如果方程(4.2)的解x1(t),x2(t),…,xn(t) 在区间a?t?b上线性无关,则W([x1(t),x2(t),…,xn(t)])在这个区间的任何点上都不等于零,即W(t)?0(a?t?b). 证明: (反证法)
假设存在某个t0?[a, b],使得 W(t0)=0 .即
W(t0)?x1(t0)?(t0)x1?x2(t0)?(t0)x2????xn(t0)?(t0)xn??0
(n?1)(n?1)x1(n?1)(t0)x2(t0)?xn(t0)考虑关于 c1, c2,…, cn, 的齐次线性代数方程组
第 2 页 共 27 页
《常微分方程》教案 第四章 高阶微分方程
?c1x1(t0)?c2x2(t0)?...?cnxn(t0)?0?cx?(t)?cx?(t)?...?cx?(t)?0?110220nn0 ?......??cx(n?1)(t)?cx(n?1)(t)?...?cx(n?1)(t)?00220nn0?11由于行列式 W(t0)=0,也就是上述关于变量 c1, c2,…, cn 的方程组的系数行列式为零，由齐次线性代数
方程组的知识可知，上述代数方程组存在非零解 c1, c2,…, cn ，即 c1, c2,…, cn 不全为零．
构造函数：x(t)= c1x1(t)+c2x2(t)+…+ckxk(t), t?[a, b].则由叠加原理，x(t)也是方程(4.2)的解，且满足初始条件x(t0)= x?(t0)=…x(n?1)(t0)=0.
而 x=0 显然也是方程(4.2)的满足初始条件的解，由解的唯一性可得 x(t)?0, t?[a, b]. 即 x(t)= c1x1(t)+c2x2(t)+…+ckxk(t) ?0, 由于c1, c2,…, cn 不全为零，从而得出 x1(t), x2(t),…, xk(t)线性相关，这是矛盾的．
定理5 n阶齐次线性微分方程(4.2)一定存在n个线性无关的解.
定理6(通解结构定理) 如果x1(t),x2(t),…,xn(t) 是方程(4.2)的n个线性无关的解,则方程(4.2)的通解可表为x=c1x1(t)+c2x2(t)+…+cnxn(t),其中c1,c2,…,cn是任意常数. 证明:
首先证明常数c1, c2, …, cn 互相独立．计算关于 c1,c2,…,cn 的雅可比行列式：
?x?c1?x??c1?(n?1)?x?c1?x?c2?x??c2?(n?1)?x?c2?x?cnx1?x??x1...?cn????x1(n?1)?x(n?1)...?cn...x2?x2?(n?1)x2......?xn?xn??W[x1(t),x2(t),...,xn(t)]
(n?1)...xn?0(a?t?b)
所以常数c1, c2, …, cn 互相独立，即 x=c1x1(t)+c2x2(t)+…+cnxn(t) 是方程的通解． 其次，证明该解包含方程的所有解，即方程的任一解都可表成该形式．
(n?1)?,...,x(n?1)(t0)?x0由于对任一初值条件：x(t0)?x0,x?(t0)?x0,如能满足方程，则有方程组
第 3 页 共 27 页
《常微分方程》教案 第四章 高阶微分方程
?c1x1(t0)?c2x2(t0)?...?cnxn(t0)?x0?cx?(t)?cx?(t)?...?cx?(t)?x??110220nn00 ?......??cx(n?1)(t)?cx(n?1)(t)?...?cx(n?1)(t)?x(n?1)0220nn00?11这是关于 c1, c2, …, cn 的线性代数方程组，它的系数行列式恰是朗斯基行列式W(t0),由定理４可知，
W(t0)?0．因此，线性代数方程组有唯一解
~,c~~c12,...,cn.
~x(t)?c~x(t)?...?c~x(t). 从而，满足上述初始条件的解为~x(t)?c1122nn也就是说，方程的任意解都可表示成上述形式．
推论 方程(4.2)的线性无关解的最大个数等于n.因此可得结论:n阶齐次线性微分方程的所有解构成一个n维线性空间.
方程(4.2)的一组n个线性无关解称为方程的一个基本解组.基本解组并不唯一,特别地,当W(t0)=1时称为标准基本解组.
4.1.3 非齐次线性微分方程与常数变易法 考虑n阶非齐次线性微分方程
dnxdn?1xdx?at???a(t)?an(t)x?f(t)(4.1) 1n?1nn?1dtdtdt
性质1 如果x?(t)是方程(4.1)的解,而x(t)是方程(4.2)的解,则x?(t)+ x(t)也是方程(4.1)的解.
性质2 方程(4.1)的任意两个解之差必为方程(4.2)的解.
定理7 设x1(t), x2(t),…, xn(t) 是方程(4.2)的基本解组,而x(t)是方程(4.1)的某一解,则方程(4.1)的通解可表为x=c1 x1(t)+c2x2(t)+…+cnxn(t)+ x?(t). 证明:
x(t)是非首先类似于定理６的方法容易证明该形式的解是非齐次型方程(4.1)的通解．其次，假设~第 4 页 共 27 页
《常微分方程》教案 第四章 高阶微分方程
齐次型方程(4.1)的任一解，因也是非齐次型方程(4.1)的某一解，则由性质２,~x(t)?x(t)是对应齐次型
~,c~~方程(4.2)的解，由定理６,有一组确定的常数c12,...,cn. ~x(t)?c~x(t)?...?c~x(t). 使~x(t)?x(t)?c1122nn~x(t)?c~x(t)?...?c~x(t)?x(t). 即~x(t)?c1122nn这也就说明了非齐次型方程(4.1)的任一解可表示成上述形式．
非齐次线性微分方程的常数变易法
类似于求解一阶非齐次线性微分方程，可以使用常数变易法求解高阶非齐次线性微分方程．
假设 x1(t), x2(t),…, xn(t) 是对应齐次型方程(4.2)的基本解组，从而 x=c1x1(t)+c2x2(t)+…+cnxn(t) 是齐次型方程的通解．现使用常数变易法，将其中的常数 c1, c2, …, cn 看成是 t 的函数：c1(t), c2(t),…, cn(t) 则有x=c1(t)x1(t)+ c2(t)x2(t)+…+ cn(t)xn(t)
代入非齐次型方程(4.1)中可得到关于 c1(t), c2(t),…, cn(t) 的方程，需有 n?1 个限制条件方能求解．
构造常数变易法的求解条件
在 x=c1(t)x1(t)+ c2(t)x2(t)+…+ cn(t)xn(t) 中对 t 求导有
?(t)?c1?(t)x1(t)?c2(t)x2?(t)?c2?(t)x2(t)?...?cn(t)xn?(t)?cn?(t)xn(t) x??c1(t)x1?(t)?c2(t)x2?(t)?...?cn(t)xn?(t)?c1?(t)x1(t)?c2?(t)x2(t)?...?cn?(t)xn(t) ?c1(t)x1?(t)x1(t)?c2?(t)x2(t)?...?cn?(t)xn(t)?0(第１个条件) 令上式的右半部分为零，即c1?(t)?c2(t)x2?(t)?...?cn(t)xn?(t) 可得x??c1(t)x1再次对 t 求导又可得
??(t)?c1?(t)x1?(t)?c2(t)x2??(t)?c2?(t)x2?(t)?...?cn(t)xn??(t)?cn?(t)xn?(t) x???c1(t)x1??(t)?c2(t)x2??(t)?...?cn(t)xn??(t)?c1?(t)x1?(t)?c2?(t)x2?(t)?...?cn?(t)xn?(t) ?c1(t)x1?(t)x1?(t)?c2?(t)x2?(t)?...?cn?(t)xn?(t)?0(第２个条件) 同理，令上式的右半部分为零，即c1??(t)?c2(t)x2??(t)?...?cn(t)xn??(t) 可得x???c1(t)x1继续下去，直到对 t 求导 n?1 次，得到
第 5 页 共 27 页