《常微分方程》教案 第四章 高阶微分方程
(n?2)(n?2)(n?2)?(t)x1?(t)x2?(t)xnc1(t)?c2(t)?...?cn(t)?0(第 n?1 个条件) (n?1)(n?1)(n?1)及x(n?1)?c1(t)x1(t)?c2(t)x2(t)?...?cn(t)xn(t)
最后再求１次导可得
(n)(n)(n)x(n)?c1(t)x1(t)?c2(t)x2(t)?...?cn(t)xn(t) (n?1)(n?1)(n?1)?(t)x1?(t)x2?(t)xn?c1(t)?c2(t)?...?cn(t)
将所有 x, x?, x?, ..., x(n?1), x(n) 代入非齐次型方程(4.1)中，得到
??c2x2??...?cnxn?) an(t)(c1x1?c2x2?...?cnxn)?an?1(t)(c1x1(n?1)(n?1)(n?1)???c2x2???...?cnxn??t)?...?a1(t)(c1x1?an?2(t)(c1x1?c2x2?...?cnxn) (n)(n)(n)(n?1)(n?1)(n?1)?x1?x2?xn?c1(t)x1(t)?c2(t)x2(t)?...?cn(t)xn(t)?c1(t)?c2(t)?...?cn(t)
?f(t)
方程可变形为
?acx?an11n?111(n?1)(n)cx??...?a1c1x1?cnxn?
??acxn22(n?1)(n)??...?a1c2x2?an?1c2x2?c2x2?...? (n?1)(n)??...?a1cn?1xn?an?1cnxn? ?1?cnxn??acxnnn?(n?1)(n?1)(n?1)?x1?x2?xnc1(t)?c2(t)?...?cn(t)?f(t)
由于 x1(t), x2(t),…, xn(t) 是对应齐次型方程(4.2)的解，所以
(n?1)(n?1)(n?1)?(t)x1?(t)x2?(t)xn最后可得方程c1(t)?c2(t)?...?cn(t)?f(t)
将此 n 个方程( n?1个条件加最后一方程)合在一起可组成一个关于未知函数 c?i(t) (i=1, 2, …, n) 的线
性代数方程组，其系数行列式恰为W([x1(t),x2(t),…,xn(t)])?0，因此该方程组的解可确定．
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《常微分方程》教案 第四章 高阶微分方程
?c1?x1?c2?x2?...?cn?xn?0??x1??c2?x2??...?cn?xn??0?c1? ?......?c?x(n?2)?c?x(n?2)?...?c?x(n?2)?022nn?11(n?1)(n?1)??x1(n?1)?c2?x2?xn?...?cn?f(t)?c1假设求得各解为ci?(t)??i(t),i?1,2,...,n 积分可得各ci(t)???(t)dt??ii
其中 ?i 为任意常数，则最终可得非齐次型方程(4.1)的通解为
x?????1(t)dt??1??x1(t)?????2(t)dt??2??x2(t)?...?????n(t)dt??n??xn(t)
???????????i???i(t)??xi(t) ??i?1
例1 求方程x???x?n1的通解,已知它的对应齐次线性微分方程的基本解组为cos t, sin t. cost解：由于基本解组已知，所以直接使用常数变易法，令
x?c1(t)cost?c2(t)sint
?(t)cost?c1(t)sint?c2?(t)sint?c2(t)cost 对其求导(对t)得x??c1?(t)cost?c2?(t)sint ??c1(t)sint?c2(t)cost?c1?(t)cost?c2?(t)sint?0 令c1得x???c1(t)sint?c2(t)cost
?(t)sint?c1(t)cost?c2?(t)cost?c2(t)sint 再求导有x????c1?(t)sint?c2?(t)cost?将 x, x?, x? 代入原方程，得到?c11 cost第 7 页 共 27 页
《常微分方程》教案 第四章 高阶微分方程
联立方程
?(t)cost?c2?(t)sint?0?c1??1
???c(t)sint?c(t)cost?12?cost?sint?(t)?1 ,c2costsintdt??1?ln|cost|??1c2(t)?t??2 从而c1(t)???cost?(t)??可解得c1最终可得原非齐次型方程的通解为： x?(ln|cost|??1)cost?(t??2)sint.
例2 求方程tx??x?=t2于域t?0上的所有解.
解：先求对应齐次型方程 tx??x?=0 的通解，改写方程为
作业: P131, 3.(1),(3)
4.2 常系数线性微分方程的解法
4.2.1 复值函数与复值解
复值函数 如果对于区间a? t ?b中的每一实数t,有复数z(t)=?(t)+i?(t)与它对应,其中 ?(t) 与 ?(t) 是定义于区间a? t ?b上的实函数,则称区间a? t ?b上给定了一个复值函数z(t).
如果实函数?(t)与?(t)当t趋于t0时有极限,就称复值函数z(t)当t?t0时有极限,并且定义
t?t0limz(t)?lim?(t)?ilim?(t).
t?t0t?t0
若limz(t)?z(t0),则称复函数z(t)在t0连续(等价于?(t)与?(t)在t0连续).
t?t0若极限limt?t0dz(t0)z(t)?z(t0)存在,则称z(t)在t0有导数(可微),并记为z?(t0)或.
dtt?t0z(t)在t0有导数等价于?(t)与?(t)在t0有导数,且有
dz(t0)d?(t0)d?(t0)??i dtdtdt第 8 页 共 27 页
《常微分方程》教案 第四章 高阶微分方程
设z1(t), z2(t)是定义在a?t?b上的可微函数,c是复值常数,有以下等式: ddz(t)dz(t)[z1(t)?z2(t)]?1?2 dtdtdtddz(t)[cz1(t)]?c1 dtdtddz(t)dz(t)[z1(t)?z2(t)]?1?z2(t)?z1(t)?2 dtdtdt
复函数的指数形式
设K=?+i?是任一复数, ?,?是实数,t是实变量,定义 eKt=e(?+i?)t=e?t(cos ?t+isin ?t)
11cos?t?(ei?t?e?i?t) sin?t?(ei?t?e?i?t)
22i
设K?=??i?是K=?+i?的共轭复数,则有eKt?eKt.
函数eKt的其它性质: (1)e(K1t?K2t)?eK1t?eK2t;
deKt?KeKt; (2)dtdnKt(3)ne?KneKt; dt结论 实变量的复值函数的求导公式与实变量的实值函数的求导公式完全类似,而复指数函数具有与实指数完全类似的性质.
线性微分方程复值解的定义 定义于区间a?t?b上的实变量复值函数x=z(t)称为方程(4.1)的复值解,如果
dnz(t)dn?1z(t)dz(t)?a(t)???a(t)?an(t)z(t)?f(t) 1n?1nn?1dtdtdt对于a?t?b恒成立.
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《常微分方程》教案 第四章 高阶微分方程
定理8 如果方程(4.2)中所有系数ai(t)(i=1,2,…,n)都是实值函数,而x=z(t)=?(t)+i?(t)是方程的复值解,则z(t)的实部 ?(t),虚部 ?(t)和共轭复值函数也都是方程(4.2)的解.
定理9 若方程
dnxdn?1xdx?a(t)???a(t)?an(t)x?u(t)?iv(t) 1n?1dtndtn?1dt(ai(t), u(t), v(t)都是实值函数)有复值解 x=U(t)+iV(t),那么这个解的实部U(t)和虚部V(t)分别是方程
dnxdn?1xdx?a(t)???a(t)?an(t)x?u(t)和 1n?1dtndtn?1dtdnxdn?1xdx?a(t)???a(t)?an(t)x?v(t) 1n?1nn?1dtdtdt的解.
4.2.2 常系数齐次线性微分方程和欧拉方程
设齐次线性微分方程中的有系数均为常数,即方程形如
dnxdn?1xdx?a???a?anx?0(4.19) 1n?1nn?1dtdtdt称为n阶常系数齐次线性微分方程.
欧拉待定指数法(特征根法) 一阶常系数齐次线性微分方程 dx?ax?0 dt有形如x=e?at的解,假设方程(4.19)也有指数形式的解e?t的,? 为待定常数. 代入方程有
dne?tdn?1e?tde?t?a1???an?1?ane?t nn?1dtdtdt??ne?t?a1?n?1e?t???an?1?e?t?ane?t
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