《常微分方程》教案 第四章 高阶微分方程
?x2?axkk?0???k?n2?ax?kk?0??k
???[(??k)(??k?1)?(??k)?n]akx2k?0???k??akx??k?2
k?0由各项系数为0可得：
[?(??1)???n2]a0?0?(?2?n2)a0?0 [(??1)??(??1)?n2]a1?0?[(??1)2?n2]a1?0
[(??2)(??1)?(??2)?n2]a1?a0?0?[(??2)2?n2]a2?a0?0 …
[(??k)2?n2]ak?ak?2?0 由第1项 a0?0 可得 ? = ?n . ? = n 时，有递推公式
[(n?k)2?n2]ak??ak?2?ak??ak?2?ak?2?
(n?k)2?n2k(2n?k)a1?0a2??a0?a1?a2a0a3??0a4??4
2(2n?2)3(2n?3)4(2n?4)2?2?(n?2)(n?1)?a2k?1(?1)ka0 a2k?1?0a2k??2k2k(2n?2k)2?k!(n?k)?(n?1)(?1)ka0y1?a0x??2kx2k?n
?k!?(n?k)?(n?1)k?12n?令：a0?1
2n?(n?1)?1(?1)k1ny1?nx??2k?nx2k?n
2?(n?1)?k!?(n?k)?(n?1)2?(n?1)k?12第 26 页 共 27 页
《常微分方程》教案 第四章 高阶微分方程
1xn?(?1)k1xy1?()???()2k?n
?(n?1)2?(n?k)?(n?1)?(n?1)2k?1k!(?1)kxy1??()2k?n?Jn(x)
??(n?k?1)2k?0k!?同理，? = ?n 时，可得
(?1)kxy2??()2k?n?J?n(x)
??(?n?k?1)2k?0k!?所以方程通解可表示为y?C1Jn(x)?C2J?n(x).
例8 求方程x2y???xy??(4x2?
4.3.3 第二宇宙速度计算 作业
9)y?0的通解. 25第 27 页 共 27 页