《常微分方程》教案 第四章 高阶微分方程
d2ydy?3x?5y?0. 例6 求解方程x2dxdx2
4.2.3 非齐次线性微分方程.比较系数法与拉普拉斯变换 常系数非齐次线性微分方程
dnxdn?1xdxL[x]?n?a1n?1???an?1?anx?f(t)(4.32)
dtdtdt(1)比较系数法
类型1
设f(t)=(b0tm+b1tm?1+…+bm?1t+bm)e?t,其中及bi(i=0,1,…,m)为实常数,那么方程有形如
~x?tk(B0tm?B1tm?1???Bm?1t?Bm)e?t
特解,其中k为特征方程F(?)=0的根?的重数(单根相当于k=1;当?不是特征根时,取k=0),而B0,B1,…,Bm是待定常数,可以通过比较系数来确定.
①如果?=0,则此时f(t)=b0tm+b1tm?1+…+bm?1t+bm ,再分两种情形讨论:
(A)?=0不是特征根时, F(0)?0,因而an?0.取k=0,以~x?B0tm?B1tm?1???Bm代入方程比较t的同次幂的系数可得Bi的值: ?B0an?b0?Ba?mBa?b1n0n?11???B2an?(m?1)B1an?1?m(m?1)B0an?2?b2 ?????Bman???bm(B) ?=0是k重特征根时,F(0)=F?(0)=…=F(k?1)(0)=0,而F(k)(0)?0,则有an = an?1 = … = an?k+1 =0, an?k?0.
dnxdn?1xdkx方程变为n?a1n?1???an?kk?f(t)
dtdtdtdn?kzdn?k?1zdkx令k?z,则方程又变为n?k?a1n?k?1???an?kz?f(t)
dtdtdt~~~由(1)可知上述方程有形如~z?B0tm?B1tm?1???Bm的特解,因而原微分方程(4.35)有
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《常微分方程》教案 第四章 高阶微分方程
dk~x~~~~z?B0tm?B1tm?1???Bm. 特解x满足k?~dtx是关于t的m+k次多项式,上式积分k次后t0,t1,…,tk?1次项的系数为上式说明特解~任意常数,令它们为零可得一个特解为:
~x?tk(?0tm??1tm?1????m)
②如果??0,可作变量替换x=ye?t,将方程化为
dnydn?1ydydy?A???A?A?Any?b0tm?b1tm?1???bm(4.37) 1n?1n?1nn?1dtdtdtdt原微分方程(4.21)的特征方程的根?对应于方程(4.37)的特征方程的零根,且重数相同.因此,有如下结论:
(A)当?不是特征方程(4.21)的根时,方程(4.37)有特解~y?B0tm?B1tm?1???Bm,从而方程
~~~(4.32)有特解~x?(B0tm?B1tm?1???Bm)e?t;
(B) 当?是特征方程(4.21)的k重根时,方程(4.37)有特解
~y?tk(B0tm?B1tm?1???Bm),从而方程(4.32)有特解
~~~~x?tk(B0tm?B1tm?1???Bm)e?t;
类型I推导方法二:
设f(t)=Pm(t)e?t, 其中 Pm(t) 是m次的关于的t的多项式.
设方程有特解形如:x*=Q(t)e?t ,其中 Q(t) 为待定多项式.代入方程可得
e?t[Q(n)(t)??nQ(t)]?a1e?t[Q(n?1)(t)??n?1Q(t)]?...?
an?1e?t[Q?(t)??Q(t)]?ane?tQ(t)?Pm(t)e?t 即
[Q(n)(t)?a1Q(n?1)(t)?...?an?1Q?(t)]?Q(t)[?n?a1?n?1?...?an?1??an]?Pm(t)
以下按 ? 与特征方程的关系分类讨论:
(1) ? 不是特征方程的根,则表明Q(t) 是关于的t的m次多项式,则可设 Q(t)=Rm(t)=B0tm+B1tm?1+…+Bm?1t+Bm,代入方程比较系数可确定各Bi(i=0,2,…m)值. (2) ? 是特征方程的单根,则表明Q?(t) 是关于的t的m次多项式,则可设
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《常微分方程》教案 第四章 高阶微分方程
Q(t)=t?Rm(t)=t(B0tm+B1tm?1+…+Bm?1t+Bm),代入方程比较系数可确定各Bi(i=0,2,…m)值. (3) ? 是特征方程的k重根,则表明Q(k) (t) 是关于的t的m次多项式,则可设Q(t)=tk?Rm(t)=tk(B0tm+B1tm?1+…+Bm?1t+Bm),代入方程比较系数可确定各Bi(i=0,2,…m)值.
d2xdx例7 求方程2?2?3x?3t?1的通解.
dtdt
d2xdx例8 求方程2?2?3x?e?t的通解.
dtdt
d3xd2xdx例9 求3?32?3?x?e?t(t?5)的通解.
dtdtdt
类型2
设f(t)=(A(t)cos?t+B(t)sin?t)e?t,其中?,?为常数,A(t),B(t)是实系数的t的多项式,最高次数为m.类似于类型1的讨论,此类方程有形如
~x?tk[P(t)cos?t?Q(t)sin?t]e?t
的特解,其中k为特征方程F(?)=0的根?+i?的重数, P(t),Q(t)待定的实系数次数不高于m的t的多项式,可以通过比较系数来确定. 将f(t)表为指数形式
A(t)?iB(t)(??i?)tA(t)?iB(t)(??i?)tf(t)?e?e
22由非齐次线性微分方程的叠加原理(习题4.1 T2)方程
A(t)?iB(t)(??i?)tA(t)?iB(t)(??i?)tL[x]?f1(t)?ee与L[x]?f2(t)?
22的解之和必为方程(4.32)的解.
由于f1(t)与f2(t)是共轭的,因此可直接利用类似1的结果,则方程(4.32)有如下形式的解:
~x?tkD(t)e(??i?)t?tkD(t)e(??i?)t?tk[P(t)cos?t?Q(t)sin?t]e?t 其中D(t)为t的m次多项式,而P(t)=2Re{D(t)},Q(t)=2Im{D(t)}.
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《常微分方程》教案 第四章 高阶微分方程
d2xdx例10 求方程2?4?4x?cos2t的通解.
dtdt复数解法：若f(t)?A(t)e?tcos?t或f(t)?B(t)e?tsin?t，则可先设
F(t)?A(t)e?t(cos?t?isin?t)?A(t)e(??i?)t
可先求解方程L[x]?F(t)的特解，它有特解形如：~x(t)?tkP(t)e(??i?)t，其中P(t)为与A(t)同次的待定多项式；k视??i?是特征方程的根的情况取相应值。将~x(t)代入方程待定系数求出解后，取相应实部或虚部为原方程的解。
例11 用复数法解例10.
(2)拉普拉斯变换法
由积分F(s)??e?stf(t)dt所定义的确定于复平面(Re s>?)上的复变量s的函数F(s),称为
0??函数f(t)的拉普拉斯变换.其中f(t)定义于t?0,且满足| f(t) | dnxdn?1x?a1n?1???anx?f(t) ndtdt及初始条件 (n?1)?,?,x(n?1)(0)?x0 x(0)?x0,x?(0)?x0其中a1,a2,…,an是常数, f(t)连续且满足原函数的条件. 记 ??~F(s)?L[f(t)]??e?stf(t)dt 0??~X(s)?L[x(t)]??e?stx(t)dt 0按原函数微分性质有 第 19 页 共 27 页 《常微分方程》教案 第四章 高阶微分方程 ~L[x?(t)]?sX(s)?x0 ~(n?1)????x0 L[x(n)(t)]?snX(s)?sn?1x0?sn?2x0对方程两端旅行拉普拉斯变换,并利用线性性质可得 (n?1)????x0 snX(s)?sn?1x0?sn?2x0(n?2)????x0?a1[sn?1X(s)?sn?2x0?sn?3x0] ???an?1[sX(s)?x0]?anX(s)?F(s) 即 (sn?a1sn?1???an?1s?an)X(s) ?F(s)?(sn?1?a1sn?2???an?1)x0 (n?1)????x0 ?(sn?2?a1sn?3???an?2)x0或者写成形式A(s)X(s)=F(s)+B(s) 其中A(s) ,B(s)和F(s)都是已知多项式,由此得 方程(4.32)的满足所给初始条件的解x(t)的像函数: X(s)?F(s)?B(s) A(s)其中x(t)可查拉普拉斯变换表求得. dx例12 求方程?x?e2x满足初值条件x(0)=0的解. dt 例13 求解方程x??(t)?2x??x?e?t,x(1)?x?(1)?0. 例14 求方程x??+3x?+3x?+x=1的满足初值条件x(0)=x?(0)=x?(0)=0的解. 例15 求解方程x?+a2x=bsin at; x(0)=x0,x?(0)=x?0,其中a,b为非零常数. 4.2.4 质点振动 第 20 页 共 27 页