《常微分方程》教案 第四章 高阶微分方程
从而方程变为
(?n?a1?n?1???an?1??an)e?t?0
则可知, e?t是方程(4.19)的解的充要条件是 ? 为代数方程 ?n+a1?n?1 +…+an-1?+an=0的根.
方程 ?n+a1?n?1 +…+an-1?+an=0称为常系数齐次线性微分方程(4.19)的特征方程,其根称为特征根.
按特征根的不同情况分类讨论: (1)特征根是单根的情形
设?1, ?2,…, ?n是特征方程的n个彼此不相等的根,则微分方程相应地有如下n个解:
e?1t,e?2t,...,e?nt
验证这n个解线性无关:
e?1tW(t)?e?2t?2e?nt1n1???1?1e?t1?2e?t??ne?t?n?1?1t?1e1???????1?2t?1?nt?n??n2ene1?e(?1??2????n)t?1??2??n?
n?1?1?1?1?n??n2n后一个行列式是范德蒙行列式,有
1?1??2??n??1?j?i?n?(???)
ijn?1?1?1?1?n??n2n由于 ?i??j(i?j),所以上述范德蒙行列式不等于零. 所以W(t) ?0,即这n个解是线性无关的.
如果?1, ?2,…, ?n是n个实数,则原微分方程有n个线性无关的实数解,则其通解为 x=c1e?1t+c2e ?2t+…+ cne?nt.
x?c1e?1t?c2e?2t?...?cne?nt
如果特征方程有复根,则复根将成对出现.
假设某对共轭复根为: ?=? ? i?, 则微分方程也对应有两个复数解:
e(??i?)t?e?t(cos?t?isin?t)与e(??i?)t?e?t(cos?t?isin?t)
其对应的实部与虚部也是方程的解,则可得复值解对应的实数形式为:
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《常微分方程》教案 第四章 高阶微分方程
e?tcos?t与e?tsin?t.
所以复值解对应的通解形式为:
e?t(c1cos?t?c2sin?t)
(2)特征根有重根的情形
设特征方程有k重根 ?=?1, 则可知有 F(?1)=F?(?1)=…=F(k?1)(?1)=0,F(k)(?1)?0.
A 若?1=0,即特征方程有k重零根,则特征方程有因式 ?k. 特征方程变为: ?n+a1?n?1 +…+an-k?k=0.
dnxdn?1xdkx此时,对应微分方程为: n?a1n?1???an?kk?0
dtdtdt它有k个解: 1, t, t2,…, tk?1,而且这些解是线性无关的.
B 若 ?1?0,则作变换 x=ye?1t. 则x(m)=(ye?1t)(m)
m(m?1)2(m?2)?m??e?1t?y(m)?m?1y(m?1)??1y????1y? 2!??可得
?dny??1tdn?1yL[ye]???b???bye?L1[y]e?1t 1n?n?1?dtn?dt???1t于是原微分方程化为
dnydn?1ydyL1[y]?n?b1n?1???bn?1?bny?0(b1,b2,…,bn仍为常数)
dtdtdt其相应特征方程为 ?n?b1?n?1???bn?1??bn?0(4.24) 现设x?e(???1)t，则有
L[x]?L[e(???1)t]?F(???1)e(???1)t
又L[e(???1)t]?L[e?te?1t]?L1[e?t]e?1t?G(?)e?te?1t?G(?)e(???1)t
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《常微分方程》教案 第四章 高阶微分方程
从而
F(???1)?G(?)且F(j)(???1)?G(j)(?),j?1,2,...,k.
由此可知,特征方程(4.21)的根?1(?0)对应于特征方程(4.24)的根?=?1=0,且重数相同. 由此可得原微分方程的k重非零根对应有k个解: e?1t, te?1t, t2e?1t, …,tk?1e?1t,e?1t,te?1t,t2e?1t,...,tk?1e?1t
假设方程的所有特征根为:?1, ?2,…, ?m,它们的重数分别为:k1,k2,…,km,ki?1,且k1+k2+…+km=n.
则微分方程有以下解:
e?1t,te?1t,?,tk1?1e?1t e?2t,te?2t,?,tk2?1e?\\2t …
e?mt,te?mt,?,tkm?1e?\\mt
这些所有解如果线性无关,则可构成微分方程的基本解组. 以下验证特征方程上述的n个解线性无关. 假设这些函数线性相关,则有
?(A0(r)?A1(r)t???Ak(rr)?1tkr?1)e?rt
r?1mt??Pr(t)e?rtr?1m
?0其中Aj(r)是常数,不全为零.
假设多项式至少有一个系数不等于零,即Pm(t)≠0.等式两端除以e?1t, 对t求导k1次,可得
?Q(t)e?(rr?2mr??1)t?0
Qr(t)?(?r??1)k1Pr(t)?Sr(t) Sr(t)为次数低于Pr(t)的多项式.
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《常微分方程》教案 第四章 高阶微分方程
因此Qr(t)与Pr(t)次数相同,且Qr(t)≠0,
如此下去,经过m?1次后,可得等式Rm(t)e(?m??m?1)t =0,而Rm(t)与Pr(t)次数相同,且Rm(t)≠0
这是不可能的,从而上述n个解线性无关,可构成微分方程(4.19)的基本解组.
特征方程有复重根的情形,类似于情形(1). 有：
设?1,2???i?为F(?)?0的k重复根，则方程有2k个解，分别为：
e?tcos?t, te?tcos?t, ... ,tk?1e?tcos?t e?tsin?t, te?tsin?t, ..., tk?1e?tsin?t
d4x例1 求方程4?x?0的通解.
dt
d3x例2 求解方程3?x?0.
dt
d3xd2xdx例3 求方程3?32?3?x?0的通解.
dtdtdt
d4xd2x例4 求解方程4?22?x?0.
dtdt
欧拉方程
n?1dnyydyn?1dx?ax???ax?any?0(a1,a2,…,an为常数) 1n?1dxndxn?1dxn可通过变量替换x=et将其变为常系数线性微分方程. 此时有
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《常微分方程》教案 第四章 高阶微分方程
22dydydtdy??tdydy?td??tdy??2t?dy???e,2?e??e??e??dt2dt?? dxdtdxdtdxdt?dt???由归纳法知,对自然数k有:
kdkydk?1ydy??kt?dy?? ?e??????1k?1kkk?1??dxdtdt??dt其中?1, ?2,…, ?k?1都是常数.于是
dkydkydk?1ydyx???????. 1k?1kkk?1dxdtdtdtk将它们代入原方程可得
dnydn?1ydy?b???b?bny?0 1n?1dtndtn?1dt此类方程有形如 e?t 的解,由于 x=et ,所以对应于原方程有形如 x? 的解. 现假设 y=x? 是原欧拉方程的解,则有
xn??(??1)?(??n?1)x??n? a1xn?1??(??1)(??n?2)x??n?1???
an?1x?x??1?anx??0
即得欧拉方程的特征方程为:
G(?)=?(??1)? ???(??n+1)+a1?(??1)? ???(??n+2)+…+an?1?+an=0
若变换后的方程的特征方程有根 ? 为 k 重根,则对应于原欧拉方程的特征方程的根也为 k 重,而变换后的方程的k 个解为: x?, te?, t2e? , …, tk?1e? ,
从而原欧拉方程的 k 个解为: x?, ln|x|x?, ln2|x|x? , …, lnk?1|x|x? .
d2ydy?x?y?0. 例5 求解方程x2dxdx2
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