《常微分方程》教案 第四章 高阶微分方程
4.3 高阶微分方程的降阶和幂级数解法
4.3.1 可降阶的方程类型
n阶微分方程的一般式F(t, x, x?,…, x(n) )=0 讨论三类特殊方程
(1)方程不显含未知函数x,或理一般地不显含x, x?,…, x(k?1),方程形式为 F(t, x(k), x(k+1),…, x(n) )=0 (1 ? k ? n )
记x(k)=y,则方程可降为关于y的n?k阶方程 F(t, y, y?,…, y(n?k) )=0
若能求出上述方程的通解x(k)=y=?( t, c1, c2, …, cn?k ),则再经过k次积分可得到原方程的通解x=?( t, c1, c2, …, cn ).
d5x1d4x?0的解. 例1 求方程5?dttdt4
(2)不显含自变量t的方程F(x, x?,…, x(n) )=0,若令x?=y,视y为新未知函数,x为新自变量,则方程可降一阶.
例2 求解方程xx?+(x?)2=0.
d2?g例3 求数学摆的运动方程2??sin?,满足初值条件:当t=0时,?=?0 >0, ??(0)=0.
dtl
dnxdn?1x(3)齐次线性微分方程n?a1(t)n?1?...?an(t)x?0(4.2)
dtdt设x1, x2, …, xk是方程(4.2)的k个线性无关解,令x=xky,则有
?y x??xky??xk?y??xk??y x???xky???2xk………
n(n?1)(n)??y(n?2)?...?xkxky 2将它们代入原方程可得 ?y(n?1)?x(n)?xky(n)?nxk第 21 页 共 27 页
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(n)(n?1)??a1(t)xk]y(n?1)?...?[xkxky(n)?[nxk?a1xk?...?anxk]y?0
若令z=y?, 并用xk除方程各项,可得
n?1阶齐次线性微分方程:z(n?1)+b1(t)z(n?2)+…+bn?1(t)z=0(4.67)
方程(4.67)与(4.2)的解之间的关系 由上述变换知z?y??(x)?或x?xk?zdt xkxi)?,i?1,2,...,k?1 xk因此可知方程(4.67)的k?1个线性无关解zi?(结论:利用k个线性无关的特解当中的一个解xk,可以把方程(4.2)降低一阶,若利用两个线性无关解xk?1, xk,则可把方程(4.2)降低两阶,以此类推,若利用方程的k个线性无关解,则可将方程(4.2)降低k阶.特别地,对于二阶齐次线性微分方程,如果知道它的一个非零解,则方程即可容易求解了.
sint2例4 已知x?是方程x???x??x?0的解,试求方程的通解.
tt
4.3.2 二阶线性微分方程的幂级数解法 用幂级数来表示微分方程的解. 例5 求方程y??xy=0的通解.
设y?a0?a1x?a2x2?...?an?2xn?2?an?1xn?1?anxn?...
y??a1?2a2x?...?(n?1)an?1xn?2?nanxn?1?...
y???2a2?3?2?a3x...?n(n?1)anxn?2?(n?1)nan?1xn?1?... ?xy??a0x?a1x2?a2x3?...?an?2xn?1?an?1xn?...
y???xy?2a2?(3?2?a3?a0)x?...?[(n?1)nan?1?an?2]xn?1?...?0 比较系数可知：
(n?1)nan?1?an?2?an?1?an?2(n?1)n?an?3???或:a?n?? n(n?1)??第 22 页 共 27 页
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从而有：
a0?a0，
a3?
a1?a1，
a2?0，
a0aaa4?1， a5?2?0 ，
3?24?35?4aa0aa1aa6?3?，a7?4?，a8?5?0
6?56?5?3?27?67?6?4?38?7可知：
a3k?a0
2?3?5?6?...?(3k?1)?3ka1
3?4?6?7?...?3k?(3k?1)a3k?1?a3k?2?0
y?a0?a1x?0?x?2a03ax?1x4?0?x5?... 2?33?4?a0a1x3k?x3k?1?0?x3k?2?...
2?3?5?6?...?(3k?1)?3k3?4?6?7?...?3k?(3k?1)??x3x3k?a0?1??...??...?
2?3?5?6?...?(3k?1)?3k?2?3???x4x3k?1?a1?x???...?
3?43?4?6?7?...?3k?(3k?1)??
例6 求方程y??2xy??4y=0的满足初值条件y(0)=0及y?(0)=1的解. 设y?a0?a1x?a2x2?...?an?2xn?2?an?1xn?1?anxn?...
y??a1?2a2x?...?(n?1)an?1xn?2?nanxn?1?... 由y(0)=0推得a0=0, y?(0)=1推得a1=1,即可设
y?x?a2x2?...?an?2xn?2?an?1xn?1?anxn?...
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y??1?2a2x?...?(n?1)an?1xn?2?nanxn?1?...
y???2a2?3?2?a3x...?(n?1)nan?1xn?1?(n?2)(n?1)an?2xn?... ?2xy???2x?4a2x2?...?2(n?1)an?1xn?1?2nanxn?... ?4y??4x?4a2x2?...?4an?1xn?1?4anxn?... y???2xy??4y?2a2?(6a3?6)x?(12a4?8a2)x2?...
?[(n?2)(n?1)an?2?(2n?4)an]xn?...?0
有递推公式：
(n?2)(n?1)an?2?(2n?4)an?0?an?2?22??an?或:an?an?2? n?1?n?1?由此可得：
a0?1,a1?1,a2?0,a3?1,a4?0,a5?a8?2a62a1?0,a9?7?… 78242a312a2a1?,a6?4?0,a7?5? 42566
综上可得：
a2k?0，a2k?1?从而
1，k?0,1,2,... k!x5x2k?1y?x?x??...??...
2!k!32x4x2k?x(1?x??...??...)?xex
2!k!2
d2ydy?p(x)?q(x)y?0(4.72)及初值条件y(x0)=y0及考虑二阶齐次线性微分方程dxdxy?(x0)=y?(0)的情况.
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可设x0=0,否则可令t=x?x0,则方程形式不变.
定理10 若方程(4.72)中系数p(x)和q(x)都能展成 x的幂级数,且收敛区间为| x | y??anxn n?0?且收敛区间也为| x | 贝塞尔方程 d2ydyx?x?(x2?n2)y?0 2dxdx2 定理11 若方程(4.72)中系数p(x)和q(x)具有如下性质: xp(x)和x2q(x)均能展成x 的幂级数,且收敛区间也为 | x | y?x??axnn?0?n 其中?为待定常数. d2ydy22?x?(x?n)y?0. 例7 求解n阶贝塞尔方程x2dxdx2设y?x???ax??ax?kkkk?0k?0???k,a0?0 ?y???(??k)akxk?0??k?1y????(??k)(??k?1)akx??k?2 k?0x2y???xy??(x2?n2)y ?x2?(??k)(??k?1)axkk?0???k?2?x?(??k)akx??k?1 k?0?第 25 页 共 27 页