第一章 集合
早在中学里我们就已经接触过集合的概念，以及集合的并、交、补的运算，因此这章的前两节具有复习性质，不过，无限多个集合的并和交，是以前没有接触过的，它是本书中常常要用到，是学习实变函数论时的一项基本功。
康托尔在19世纪创立了集合论，对无限集合也以大小，多少来分，例如他断言：实数全体比全体有理数多，这是数学向无限王国挺近的重要里程碑，也是实变函数论的出发点。
实变函数论建立在实数理论和集合论的基础上，对于实数的性质，我们假定读者已经学过，所以本书只是介绍集合论方面的基本知识。
§1 集合的表示
集合是数学中所谓原始概念之一，不能用别的概念加以定义，就目前来说，我们只要求掌握一下朴素的说法：
在一定范围内的个体事物的全体，当将它们看作一个整体时，我们把这个整体称作一个集合，其中每一个个体事物叫做该集合的元素。
顺便说明一下，一个集合的各个元素必须是彼此互异的，哪些事物是给定集合的元素必须是明确的，下面举出几个集合的例子。
例1 4，7 ，8，3四个自然数构成的集合。 例2 全体自然数
例3 0和1之间的实数全体 例4 ?0,1?上的所有实函数全体 例5 A,B,C三个字母构成的集合 例6 平面上的向量全体
全体高个子并不构成一个集合，因为一个人究竟算不算高个子并没有明确的界限，有时难以判断他是否属于这个集合。
1.集合的表示
一个具体集合A可以通过例举其元素a,b,c?来定义，可记A??a,b,c?? 也可以通过该集合中的各个元素必须且只需满足的条件p来定义，并记为
A={x：x满足条件p}
如例1可以表示为｛4，7，8，3｝例3可以表示为?x:x?(0,1)?
设A是一个集合，x是A的元素，我们称x属于A，记作x?A，x不是A的元素，记作x?A。
为方便表达起见，?表示不含任何元素的空集，例如 {x：sinx>1}=?
习惯上，N表示自然数集，（本书中的自然数集不包含0），Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.
设f(x)是定义在E上的函数，记f(E)={ f(x)：x∈E}，称之为f的值域。若D是R中的集合，则
f?1(D)={x:x∈E ,},称之为D的原像，在不至
混淆时，{x：x∈E，f(x)满足条件p}可简写成{x:f(x)满足条件p}.
2.集合的包含关系
若集合A和B满足关系：对任意x∈A,可以得到x∈B，则成A是B的子集，记为A?B或B?A，若A B但A并不与B相同，则称A是B的真子集. 例7. 若f(x)在R上定义，且在[a,b]上有上界M，即任意对
x∈[a,b]有f(x)?M.用集合语言表示为：[a,b] ?{x：f(x)?M}.
用集合语言描述函数性质，是实变函数中的常用方法，请在看下例.
例8. 若f(x)在R上连续，任意取定x0∈R,对任意?>0,存在?>0.使得对任意x?(x0??,x0??)有|f(x)?f(x0)|
f((x0??,x0??))?(f(x0)??,f(x0)??).
3.集合相等
若集合A和B满足关系：A?B且B?A,则称A和B相等，记为A=B.
例9 设f(x)在R上定义，且在R上有上界M，则 R={x：f(x)?M}={x：
f(x)?M+1}
例10 若f(x)在[a,b]上连续，则由连续函数的性质，f([a,b])?[m,M]，其中
m?min{f(x):x?[a,b]}，M?max{f(x):x?[a,b]}.
§2 集合的运算
从给定的一些集合出发，我们可以通过所谓集合的运算做出一些新的集合，其中最常见的运算有并、交、减法三种，实变函数中大量使用无限并和无限交的运算。
1、集合的并集
设A,B是任意两个集合，设C由一切或属于A或属于B的元素所组成，则我们称C为A,B的并集或和集，简称为并或和，记为C?A?B它可以表示为
A?B?{X:X?B或X?A}
图1.1是A?B的示意图。
｛A?:???},其中?并集的概念可以推广到任意多个集合的情形，设有一簇集合
是在固定指标集?中变化的指标；则由一切A?的所有元素组成的集合称为这族集合的并集或和集，记为?A?，它可以表示为：
??? A?=｛x：存在某个???使x?A?｝???? 注意，按照集合的定义，重复出现在两个被并集合中的元素在做并运算时只能算一次。
习惯上，当?=｛1、2、3???k｝为有限集时，A??A?写成A=?An,而A??An写
????=1n?Nk成A=?An。
n=1?例1设f?x?和g?x?是定义在E上的函数，则对任意C?R
｛x：max｛f?x?，g?x?}>c}={x:g?x?>c}
例2.(a,b)=11??a?，b? ???nn?n=1???m例3若记Qn=｛：m?Z｝，n=1、2、3???则Q=?Qn
nn?1例4 若{I?:???}是一族开区间，而?a，b???a，b???Ii（有限覆盖定理） 使得
i=1?I?，则存在｛ ?，?，???123???｝????｛x：f?x??0}??{x:f(x)?} 例5若f?x?是定义在E上的函数，则
n?1?1n2、集合的交集
设A,B是任意两个集合，由一切既属于A又属于B的元素组成的集合C称为A和B的交集或积集，简称为交或积，记作C?A?B,它可以表示为
如图1.2所示
A?B?{x:x?A且x?B}
｛A?:???} 是任意集族，交集的概念也可以推广到任意多喝集合的情形设 其中｛A?:???}的所有元素组成的集合?是在固定指标集?中变化的指标；则由一切
称为这族集合的交集或积，记为
若
A????n，它可以表示为：
A?=｛x：存在某个???使x?A?｝????
A????n?? ，说明所有的An没有公共的元素。
k习惯上，当?=｛1、2、3???k｝为有限集时，A??A?写成A=?An,而A??An
???n=1n=N