写成 A=?An
n=1?例6、若f?x?是定义在E上的函数，则
｛x：a 例7、若?an，bn???an?1，bn?1?，n=1，2???且lim?bn?an?=0则存在唯一的 x??? 2，，，即｛a｝=??an，bn? （区间套定理）。 a?R使a??an，bn?n=1，n=1例8 若fn?x??是定义在E上的一列函数，则对任意c?R， （1）{x:supfn?c}???{x:fn?1?n?c}（2）{x:supfn?c}??{x:fn?c} n?1?证明 我们只证明（1），（2）的证明类似的，请读者自证。 若x?{x:supfn?c}则对任意nfn?sup{fn}?c即x?{x:fn?c} ，由n 的任意性，x??{x:fn?1?n?c}；反之，若x??{x:fn?c}，对任意n，fn?c ， n?1?因此c是fn(x)?的一个上界，于是supfn?c即x?{x:supfn?c} ?定理1 (1)A?B?B?A,?B?B?A （交换律） (2)A?(B?C)?(A?B)?C,A?(B?C)?(A?B)?C (3)A?(B?C)?(A?B)?(A?C),A?(?B?)??(A?B?) ??????(4)A?A?A,A?A?A 证明 我们只证明A?(先设 B?)??(A?B?) ????????使得xB?? x?A?(?B?)则有x?A且有?0?,0???于是x?A?B0?(A?B?) ????这证明了A?(B?)??(A?B?) ???????在证反过来的包含关系，设x?则有?(A?B?)，??????0??,使得x?A?B?0 , ??????此即x?A，x?B?，因此x?A?(综合起来，便是等式成立。 B?)于是A?(?B?)??(A?B?)。 ??这表面，集合运算的分配律，在无限并的情况下依然成立 3、集合的差集和余集 若A和B是集合，称A\\B=?x:x?A且x?B}为A和B是差集，A\\B也可以记为A-B，如图1.3是A-B的示意图： 当我们讨论集合都是某个大集合S的子集时，我们称S\\A为A的余集，并记为 S\\A?AC 在欧式空间R中，R\\A写成A 当全集确定时，显然A\\B?A?B因此研究差集运算可以通过研究余集运算来实现。 例9 QC?{x:x是无理数｝ 例10 若f（x）定义在集合E上，S=E,则{x:f(x)?a}c?{x:f(x)?a} 在集合论中处理差集或余集运算式时常用到以下公式 CnnC定理2（德摩根公式） 若{A?:???}是一族集合，则 C 1）（ （A?）??A?C??????? C 2）（?A?）（??A?C?????? ??? ???C证明 （1）的证明，设x?则x??A?，因此对任意???，x?A?即（?A?）对任意???，x?A?c， 从而 x??A?C反之，设x??A?C，则对任意 ??????C???，x?A?c即对任意???，x?A?则x??A?从而x?综合可得 （?A?）?????? C（1）（?A?）??A?C ?????? ｛fn?x?｝｛fn?x?｝例11 设是定义在E上的函数列，若x?E则有界的充分必要条 件是存在M>0,使得对任意n，|fn?x?|?M注意到与存在相对应的是并集的运算，与任意相对应的是交集的运算，从而 ?｛x:｛fn?x?｝有界｝=??{x:|fn?x?|?M} M?Rn=1 用德摩根公式，有 ?｛x:｛fn?x?｝无界｝= ｛x:｛fn?x?｝无界｝= ??{x:|fn?x?|?M} cM?Rn=1 其中R为正实数集。 数学分析中国的很多定义，命题涉及任意和存在这两个逻辑量词，它们的否定说法是把任意改为存在，而把存在改为任意，在集合论中，德摩根公式很好的反映了数学分析中这种论述的合理性。 请读者注意：我们怎样把描述函数列性质的?-N语言，转换为集合语言。 ｛fn?x?｝｛fn?x?｝例12 设是定义在E上的函数列，若x是使收敛与0的点，则对 ?任意的??0，存在N,使得对任意n?N,|fn?x?|??即 {x:limfn?x??0}?x????RN?1n?N???{x:f?x???} n??? 用德摩根公式 {x:limfn?x??0或不存在}?x????RN?1n?N???{x:f?x???} n???三重的交并运算，在以后各章会多次出现 4、集合列的上极限和下极限 设A1，A2，A3，A4，An?是任意一列集合，由属于上述集合列中无限多个集合的那种元素的全体所组成的集合称为这一集合列的上极限或上限极，记作 limAn或limsupAn它表示为 limAn=｛x|存在无穷多个An，使x?An｝x??x??x??读者不难证明，limAn=｛x|对任意N>0，存在一个n；n>N使x?An｝ x?? 对集合列A1，A2，A3，A4，An?那种有限个下标外，属于集合列中每个集合的元素全体所组成的集合称这个集合列的下限集或下极限，记为limAn或者 x??liminfAn x??limAn=?x:|当n充分大以后都有x?An? x?? 显然limAn?limAn x??x??例13 设An是如下一列点集 1??A2m?1??0,2?,m?0,1,2,3,,,?2m?1?? 1??A2m??0,2?,m?1,2,3,,,?2m??｛An｝我们来的上下极限。 1?中的点属于An，n=1，2，3，4，因为闭区间?0，，，而对于开区间（1，2） 中的每一个点x，必存在自然数N使得当n>N时候： 1?11?2? 2m?12m即当n?N时，x?A2n但x?A2n?1换句话说，对于开区间（0，2）中的x具有 ｛An｝充分大的奇数指标的集含有x即中无限多个集合含有x，而充分大的偶数指｛An｝标集都不含有x即中的集合不会是有限个，又区间 ?2?以外的点都不属?0，于任意An，因此 limAn??，2? limAn??01? ?0，x??x?? 例14 设liman?a,则对任意??0除有限个an外，an??a??,a???，即除 x??有限个n外an??a??,a???因此a?limx:x?an??，由?的任意性 x????a??lim?x:x?an???，再由极限的唯一性， ??R?x?? ?a?=?lim?x:x?an??? x????R?上下极限还有用交集与并集来表示。 定理3 ⑴limAn???Am； ⑵limAn???Am n??n?1m?nn??n?1m?n????证明 我们利用 limAn??x：对任意的N?0，存在n?N,使得x?An?来证明⑴式.记 n??A?limAn，B???Am.设x?A，则对任意取定的n，总有m?n，使 n????n?1m?n?Am，故x?B.反之，设x?B，则对任意x?Am，即对任何n，总有x?m?n的N?0，总有x??Am，即总存在m?mm?N?1???N?，有x?Am，所以x?A， 因此A?An???Am. B，即limn??n?1m?n??