i?1?Ai也是可数集.
?今后我们用
a（或?）表示可数集的基数，则当A均为可数集合时，定
0i理3的推论可简记为
n?a?a?a???a?a（定理3） ???????n个而本定理的结论就可简记为
a?a?a?a???a????a（定理4） ??????可数个定理5 有理数全体成一可数集合.
123?（i证明 设A???,,,??i?iii??1,2,3,?），则A是可数集，于是由
i?定理4知全体正有理数成一可数集Q??A，因正负有理数通过
i?1i???r???r，成为一一对应，故全体负有理数成一可数集Q，但有理数全
体所成之集合Q?Q?Q??0?，故由定理3的推论知Q为可数集.
???应该注意，有理数在实数中是处处稠密的，即在数轴上任何小区间中都有有理数存在（并且有无穷多个）.尽管如此，全体有理数还只不过是一个和那样稀疏分布着的正整数全体成为一一对应的可数集.这个表面看来令人难以置信的事实，正是康托尔创立集合论，向“无限”进军的一个重要成果，它是人类理性思维的有一个胜利.
用有理数集的可数性和稠密性可推断出一些重要的结论.
例1 设集合A中元素都是直线上的开区间，满足条件：若开区间K,J?A，
K?J，则K?J??.证明A是可数集或有限集.
证明 作映射
?：A?Q.设K?A，由于Q在直线上稠密，任取
r?A?Q，定义??K??r.由于任意K,J?A，K?J，有
K?J??，因此?是A到Q内的单射，于是A～??A??Q，所以
A?Q?a，即A是可数集或有限集.
定理6 设Ai是可数集，i可数集.
?1,2,?,n，则A?A?A???A是
12n证明 用归纳法证明.显然i?1时，结论成立.假设已证：若A是可数集，
i12n?1i?1,2,?,n?1，则A?A?A???A故设An12kk12是可数集.因知
n?1kA可数，
n??A?A???A??x? ??x,x,?,x,??.记A12n?1?k则A1?A?A???A?11k?1，
?是可数集.又k?1,2,?，因此Ak12n?，由定理4，A?A?A???A是可数集. A?A???A??Ak例2 平面上坐标为有理数的点的全体所成的集合为一可数集. 例3 元素
?n,n,?,n?是由k个正整数组成的，其全体成一可数集.
12k例4 整系数多项式
ax?ax???ax?a
nn?101n?1n的全体是一可数集.
证明 对任意的n，设An是n次整系数多项式的全体组成的集合，则
其中Z0?Z\\?0?和Z都是可数An?a0xn?a1xn?1???an～Z0?Z???Z，???????n个??集，因此由定理6，
?A是可数集.从而整系数多项式的全体组成的集合
nA??A也是可数集.
n?0n每个多项式只有有限个根，所以得下面的定理.
定理7 代数数的全体成一可数集.
（所谓代数数，乃是整系数多项式的根.）
§5 不可数集合
到目前为止，在无限集合中我们只讨论了可数集，是不是无限集合都是可数集合呢？如果真是这样的话，那么所有无限集合将只能具有同一的基数，而基数概念的引进也将没有什么意义了。下面我们将看到事实并非如此。
不是可数集合的无限集合我们称为不可数集合。
定理1 全体实数所成的集合是一个不可数集合。
证明: 由§3例4知R~?0,1?，我们只要证明?0,1?不是可数集就好了。首先
?0,1?中每一个实数都可以唯一地表示为十进位无穷小数：
a?0.a1a2a3a4L??an nn?110?的形式，其中各是0，1，，9中的一个数字，不全为9，且不以0为循环节，我们称实数的这种表示为一个正规表示。反之，每一个上述形式的无穷小数都是
?0,1?中某一实数的正规表示。
现用反证法：假设?0,1?中的全体实数可排列成一个序列
?0,1???a1,a2,a3L?
将每个表示成正规的无穷小数：
a???0.a1??a2??a3??L
1111a???0.a1??a2??a3??L
2222a???0.a1??a2??a3??L
3333
现在设法在?0,1?中找一个与所有这些实数都不同的实数。为此利用对角线上的数字an?n??n?1,2,3L? 作一个无穷小数如下
nn0.a1a2a3a4L,其中an=1,如果an???1或者an?2如果an??=1
则此无穷小数的各位数字既不全是9，也不以0为循环节，因此必是?0,1?中某
一实数a的正规表示，但从这个无穷小数的作法可知，它与每一个a的正规表示都不同（因为至少第n位小数不同），因此a?ann?n?1,2,3L?,从而
,?与假设矛盾。因此?0,1?是不可数集合。 ?0,1???a1,a2,a3L推论1 若用c表示全体实数所成绩和R的基数，用a表示全体正整数所成的
集合的Z基数，则c?a。
以后称C为连续基数（C有时记为?）。
?定理2 任意区间,?a,b?, ??a,b?，?a,b?,?0,??，?0,??均具有连续基数C（这里a?b）。
分析：①∵?a,b?~R，∴?a,b?的基数为C ②?a,b???a,b??R则?a,b?的基数为C ③?0,1???0,???R则?0,??的基数也为C
定理3 设A1,A2,A3,A4,L是一列互不相交的集合，它们的基数都是C，则
UA的基数也是C
nn?1?证明：设In???n?1,n?则ImIIn?? (m≠n),但In?C?n?1,2,3L?，故In~An?n?1,2,3,L?,从而
???UA~UInn?1n?1n???0,??
于是由定理2即得。
?A:n?Z定理4 设若有一列集合{n},An?c,n?1,2,...,而
A??An,则A?C.
n?1?证明 由于An?(0,1)?C，不妨设An?(0,1),n?1,2,.... x?{x,x,x,...}
?{x1,x2,...,xn,...}按十进位无限的小树表示
首先把?0,1?中任何与x与A中点
对应，就知道（?0,1?对等与A的一个子集。
反之，对A中的任何xxn 有
x1?0.x11x22...x1n...,
x2?0.x21x22...x2n...,
. . . . . . . . . . . .
xn?0.xn1xn2...xn1...,
?{xn}?B，作一小数ψ（x）
：
. . . . . . . . . . . . 由上述一列数x ψ（x）=
o.x11x12x21x31x22x13x14x23?
??0,1?而且当x≠y时ψ（x）≠ψ（y）.由映射ψ，A也对等?0,1?显然ψ（x）
的一个子集，所以由伯恩斯坦定理得A～?0,1?,定理得证. 设n为一个正整数，称由n个实数1组
x,x2...xn，按确定的次序排成的数
Rn，每个组
(x1,x2...xn)全体称为
n维欧几里得空间，记为
(x1,x2...xn)称为维欧几里得空间的点。又称xi为点的(x1,x2...xn)第i
个坐标.
定理5 n维欧几里得空间Rn的级数为C