⑵式可同样证明.
用定理3，例12中的⑴式和⑵式可分别简写为
limf?x：n??n?x??0????R??limx：fn?x???n??????，
limf?x：n??n?x??0或不存在??，则称
??R??limx：fn?x???n??????.
如果n??limAn?limAnn??An.若极限允许取??，?An?收敛，记为limn??则单调数列总有极限，在集合论中也有类似的结论.
5.单调系列
如果集列
?An?满足An?An?1?An?An?1?，n?1,2,3,?，则称?An?为
??增加（减少）系列.增加与减少的集列统称为单调集列.容易证明：单调集列是收敛的.如果
An??An，如果?An?减少，则limAn??An.?An?增加，则limn??n??n?1n?1请读者自证. 例15 设
1?，f?x?是定义在E上的有限函数，若F??x：?f?x???nn??n?1,2,?则?Fn?是增加数列，且
1??limFn???x：f?x?????x：f?x??0?； n??n?1?n??若En??x：f?x??n?，n?1,2,?则?En?是减少集列，易知
limEn???x：f?x??n???.
n??n?1?
6.集合的直积
若Ai?i?1,2,?,n?是集合，则
A???x1,x2,?，xn?：xi?Ai,i?1,2,?,n?称为Ai?i?1,2,?,n?的直
积，记为
?A或A?A???A.
ii?112nn类似地，
?A?A?A?????x,x,??：x?A,i?1,2,??
i12?12iii?1An???A??A???????A. n个§3 对等与基数
本节主要研究集合中元素的“个数”的多少，以及怎样从有限推广到无限集。 集合可分为两类—有限集合和无限集合，空集与只含有有限多个元素的集 合称为有限集，其余的称为无限集。如通常所认为的那样，空集所含元素的个数为0，而非空有限集的典型特性应该是具有一个标志其元素个数的正整数，而确定非空有限集A中元素个数的方法是把A中元素一个一个的“数”.这等于将A 中各元素按任一方式给它们编号: A?{a1,a2,?,an},其中i?k时, ai和ak是不同的元素,这样就A和正整数的某一截断{1,2?,n}一对一地对应起来,最后对应的一个正整数n显然就是A的元素”个数”.有此不难推知,两个非空有限集合元素个数相同的充要条件,是它们能够和正整数数列的同一截断一一对应,而这又等价与这两个集合彼此一一对应.我们打个比方.在一个大教室里,如果一个每个人都有一个座位,而且每个座位上都有且只有一个人,那么我们根本不用一个一个地去”数”,便立刻知道教室中人数和座位数是相同的.
上述的讨论虽然只适用与非空有限集,但是一一对应的思想却不限于非空有限集.它将帮助我们把元素个数的概念推广到无限集.
以上只是一个朴素的说明.现在我们从严格意义上给出映射和一一对应的概念.
定义1
设A,B为两个非空集合,如果有某一法则?,使每个x?A有唯一确定的
y?B和它对应,则称?为A到B内的映射,记为
??B . ?:A当映射?使y和x对应时, y称为x在映射?下的像,,记作y???x?,也可表
示为
?:x??y
对于任一固定的y,称适合关系y???x?的x的全体的元素在y在?之下的原像.集合A称为映射?的定义域,记作D???,设C是A的子集,C中所有元素的像
的全体,记作: ??C?,称它是集C在?之下的像, ??A?称为映射?的值域,记作:????.
记忆方法：
有像，且像唯一 ? 有原像 ? 原像唯一
映射 函数 函数有反函数
定义2
设A和B是非空集合,若存在从集合A 到B上的一一映射?,即满足: (1)单射:对任意x.y?A,若??x????y?,使得x?y; (2)满射:对任意y?B,存在x?A,使得??x??y. 则称A和B对等,记为A～B,规定?～?.
例1 我们可给出有限集合的一个不依赖与于元素个数概念的定义:集合A称为有限合,如果A=?或者A和正整数的某截断?1,2,?,n?对等。
注：有限集合的一个不依赖与于元素个数概念的定义，例如A的总个数与正整数的某个截断相对应。
例2{正奇数全体}～{正偶数全体}.事实上,只要令??x??x?1即可. 例3{正整数全体}～{正偶数全体}.这只需令??x??2x,x是正整数.
（x)=tan(?x-例4 区间?0,1?和全体实数?对等,只需对每个x??0,1?,令??2)。
例5设A与B是两个同心圆周上的点集（图1.4），显然A～B.事实上，对A上每一点x与同心圆的连线与B相交且只交于一点。值得注意的是，若将此展开为线段时，则这两线段的长度并不相同。这告诉我们，一个较大的线段并不比另一个线段较短线段含“个多的点”。例4还表明，无限长的“线段”也不比有限长的线段有“更多的点”。
例3和例4说明，一个无限集可以和它的一 个真子集对等（可以证明，这一性质正是无 限集的特征，常用来作为无限集的定义）。
o B A 这一性质对有限集来说显然不能成立。由此可以看出无限集与有限集之间的深刻差异。
对等关系显然有一下性质：
定理1
对任意集合A,B,C,均有： （1）（反射性） A～A;
～B则B～A; (2) (对称性)A～B,B～C,则A～C. (3) (传递性)A定义3 若A和B对等，则称他们有相同的基数，记为A?B.
定义4 设A,B是两个集合，如果A不与B对等，但存在B的真子集B*,有A～B*,
则称A比B有较小的基数（或称B比A有较大的基数）并记为A?B(或B?A).
自然，我们要提出问题：任给两个集合A,B，在
A?B,A?B,A?B
中是否必有一个成立且只有一个成立呢?回答是肯定的，但是在第一个问题的论证较为复杂，不能再此讨论。一下是对第二个问题的回答。
定理2 【伯恩施坦（Bernstein）定理】
设A,B是两个非空集合。如果A对等与B的一个子集，B又对等与A的一个子集，那么A对等于B.
注 利用基数的说法是：设A?B,B?A,则A?B.
证明 有假设，存在A到B得子集B1上的一一映射?1及B到A得子集A1上的一
一映射?2。因为B1?B,记A2??2(B1).显然?2是B1到A2上的一一映射，即
AB1A2 ～～并且A2?A1.作映射?1和?2的复合映射?如下：当x?A时，?(x)??2(?1(x))。
A3??(A1)是A2的子集，那么?实现了A到A2上的一一对应。因为A1是A的子集，
?1?2所以