证明：若Rnn中点
(x1,x2...xn)对应于E?中点(x1,x2,...,xn,0,...0)时，
1n就知道R对等于E?的子集.如果再将R中点x对应R中点(x,0,...,0)时
推论2 设有C个(C表示连续基数)集的并集，若每个集的基数都是C,则其
并集的基数也是C。
事实上，对于每一个被并的集，使之与平面上平行于轴的直线上全体点所成集合作成一一对应，也就得到所述的并集与平面上全体点所成集合作成了一一对应。
推论3设若有一列?Bn:n?Z??;Bn??0,1?;n?1,2,3,L,集合
证明：由于B?C，因此B??Bn??An?C,其中An??0,1?,n?1,2,3,Ln?1n?1==??
任取x??0,1?用正规的二进位小数表示x，即x?0.a1a2a3LanL
其中an?0,1;n?1,2L是单射，于是B??=定义?:?0,1??B,?(x)??a1,a2,L=an,L?，显然??0,1???0,1??C 由伯恩斯坦定理B?C，
ca?c,cn?c,2a?c
定理4、定理5和推论3分别可简写成
由定理4，实数列的全体组成的集合基数仍为C，自然产生了新的问题，有没有基数大于C的集合呢？有没有最大的基数呢？下面的定理圆满的回答了这个问题。
定理6 设M是任意的一个集合，它的所有子集作成新的集合?，则??M。
证明：我们先证明?不能与M对等。假设不然，即?~M，则对应于每个??M，都应有M的子集M?与之对应。现在我们将M中所有那样的?，满
足??M，作成一集合M,则M?M，所以M??，从而应有中M元素?11111111与之对应。若??M，则与之定义矛盾。因M是由那些??M?的?作成的，可见??M。但是如果??M，那么由M的定义，?又应该属于M，因
1111111为包括了所有??M的?。这就产生了矛盾，因而M不对等于?。至于M对等于?的一个子集，则是显然的事实，因为那些只含一个元素的子集自然是作成
111M对等于?的一个子集。w
定理6告诉我们没有一个最大的基数，从而无线集合的不同基数也有无线多个。
由于可数集合中元素比连续基数集中元素少得多，我们通常尽可能地用可数集合交并运算代替不可数集合的交并运算。这一点，在第三章测度论中有十分重要的应用。
例1 是f?x?定义在点集E上的函数x:|f?x?|?0???I?|f?x?|???
??R?=
1??x:fx???? ?In?n?1?例2 设fn?x?是定义在点集E上的函数列，则本章§2例
???12中的（1）（2）式
?x:limf?x??0??In??n??RN?1n?N?UI?x:f?x????
n????和
?x:limf?x??0或不存在??UIU?x:f?x????
n??nn??R?N?1n?N分别可写成
?和
1??x:limfn?x??0?IUI?x:fn?x??? n??k?k?1N?1n?N??????x:limfn?x??0或不存在?UIn???1??x:fx????? Unk?k?1N?1n?N????由此，我们再次看到函数列的极限过程，怎样用集合运算来描述，这在以后的各章中都有重要应用。
第二章 点集
第一章介绍了集合的概念及运算.那里的集合只提到其中的元素，以及元素的个数（有限、可数无限、不可数无限等），没有涉及集合各个元素之间的关系.但是，数学中需要处理的集合，其元素之间本来就存在某种关系，也就是说，集合内部有一种结构.打个比方，第一章研究的集合，相当于赤裸的原始人.这一章研究的点集，相当于穿有各种衣服的文明人.例如，对于全体实数组成的集合，我们不仅考虑一个个的实数，而且要度量彼此之间的距离，以及研究实数间的运算，等等.距离就是一种结构.大家知道，有了两点间的距离，就可以构成空间，定义邻域，于是就可以研究集合上函数的极限、连续、可导等.因此，能够度量元素间距离的集合，是数学研究的重要对象.
这一章中，我们要考察这样的空间—度量空间（也成为距离空间）.由于我们研究的函数往往定义在一维的实数直线上，以及在n维的欧氏空间Rn中，而其中的元素称为“点”，并且两点之间有距离，所以习惯上把集合中元素间有某种关系、集合内由某种结构的集合，叫做空间或者点集.
当然，度量空间不仅限于数集和欧氏空间，区间[a,b]上连续函数的全体也可构成度量空间.把朴素的欧氏空间推广到更一般的空间，扩大数学视野，形成一般的抽象空间的概念，是本章的任务.
§1 度量空间，n维欧式空间
让我们回忆数学分析中的极限概念，在定义数列{xn}的极限x时，要用绝对值|xn?x|来表示xn和x的接近程度.如果我们将实数直线R上任何两点a和b之间的距离d(a,b)用|a?b|加以表示，那么所谓R中数列{xn}收敛于x，就意味着
xn和x之间的距离随n??而趋近于0，即
limd(xn,x)?0
n??这使我们想到，在一般的点集E中如果也有“距离”，那么在点集中也可借这一
距离定义极限，这对研究集合的性质将是极其重要的工具.那么，究竟什么是距离呢？
设是一个集合X，若对于X中任意两个元素x,y，都有唯一确定的实数
d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件： 1。d(x,y)?0，d(x,y)=0的充要条件为x?y； 2。d(x,y)?d(x,z)?d(y,z)对任意z都成立，
则称d(x,y)是x,y之间的距离，称(X,d)为度量空间或距离空间. X中的元素称为点，条件2。称为三点不等式.
距离d有对称性，即d(x,y)?d(y,x).实际上，在三点不等式中取z?x，并由条件1。知
d(x,y)?d(x,x)?d(y,x)?d(y,x)
由x和y的次序是任意的，故同样可证d(y,x)?d(x,y)，这就得到
d(x,y)?d(y,. x)如果(X,d)是度量空间，则(Y,d)也是一个度量空间，Y是X的一个非空子集，称为(X,d)的子空间.
下面我们只讨论欧式空间Rn，对于其他度量空间的例子将在第七章给出. 对于Rn中任意两点
x?(?1,?2,...,?n),y?(?1,?2,...,?n),
规定距离
d(x,y)?(?(?i??i))
i?1n122容易验证d(x,y)满足距离的条件.首先，条件1。是显然满足的.现在验证条件2。. 由柯西（Cauchy）不等式
(?aibi)?(?ai)(?bi2)
22i?1i?1i?1nnn得到
(?ai?bi)??ai?2?aibi??bi2
22i?1i?1i?1i?1nnnn??ai?22i?1n?a.?b2ii?1i?1nn2i??bi2
i?1n??????22ai??bi? ??i?1i?1?nn2令 z?(?1,?2,...?n),ai??i??i,bi??i??i,，则
?i??i?ai?bi.
代入上面不等式即为三点不等式.
(Rn,d)称为n维欧氏空间，其中称d为欧几里得距离.
此外，在Rn中还可以用下面方法定义其他距离：
?'(x,y)?max|?i??i|
i?(x,y)??|?i??i|
''i?1n容易验证?'，?''也满足条件1。和2。.由此可知，在一个集合中引入距离的方法可以不限于一种.
下面我们将考察Rn中的极限、开集、闭集、紧集等一系列概念，它们的基础都是邻域，而邻域则依靠距离 即可给出.其实本章的结论在一般度量空间中也都是成立的.在一点我们在第七章还要涉及. 我们从定义邻域的概念开始.
定义1 Rn中所有和定点之距离小于定数的点的全体，，即集合称为点之邻域,
称为邻域的中心,称为邻域的半径.在不需要特别指出是怎样的一个半径时，也干脆说是的一个邻域，记作.显然，在中的，就是以为中心为半径的开区间，开圆和开球.