§3 开集，闭集，完备集
本节着重讨论两类特殊点集。
定义1 设E?Rn，如果E的没一点都是E中的内点，则称E为开集.（空
集也是开集并且此定义具有相对性）
例如整个空间
Rn是开集,空集也是开集.又如在R1中任意开区间
(a,b)是开集，[0,1)不是开集.在R2 中E?{(x,y):x2?y2?1}是开集（但把
它放在R3中来看时，即看做E?{(x,y,z):x2?y2?1,z?0}就不再是开集了）.
定义2 设 E?Rn，如果E 的每一个聚点都属于E，则称 E为闭集。
例如整个空间Rn是闭集，空集是闭集。又如在R1 中闭区间[a,b]是闭集，
[0,2)但不是闭集。在R2中E?{(x,y):x2?y2?1}是闭集.再如任意的有限集
合都是闭集（没有聚点）。
开集、闭集利用开核、闭包等术语来说，就是：
E为开集的充要条件是E?E，亦即E=E；
E为闭集的充要条件是E??E(或?E?E).（若E为不含有孤立点的
集合则有E??E?E故E是完备集）
开集常用字母G表示，闭集常用字母F表示
0??定理1 对任何E?R?n，E是开集，E?和E都是闭集（E称为开核，E称为
??闭包的理由也在于此）.
证明：（1）证明E为开集，即证E中的每一点p均为内点，即??(p), st. ?(p)?E.设?p?E ，则??(p), st.?(p)?E
?Q??(p),则??(Q),st.?(Q)??(p)?E，则Q为E的内点，?Q?E，从而
?????(p)?E
??E为开集
（2）证明为闭集E?，即证(E?)??E?，则需证?p0?(E?)??p0?E?
设?p0?(E?)?，则在U(p0)，?p1?p0.p1?U(p0)且p1?E?. 则又由等价定义??(p1).?p2?p1p2??(p1)且p2?E且p2?p0
??p0为E的聚点，即p0?E?
?E?为闭集
（E）最后证明E是闭集，即须证??E
（E）（E?）?=E????E??E?=E??E 因为E=E?E?，由本章§2 定理3，
从而E是闭集.
定理2 （开集与闭集的对偶性） 设E是开集，则Ec是闭集；设E是闭集，
则Ec是开集。
证明：
（1）要证Ec为闭集，若p0为Ec的一个聚点?p0?Ec
设E是开集，而p0是Ec 的任一聚点，那么，p0的任一邻域都有不属于E的点。这样，p0就不可能是E的内点，从而不属于E（因E 是开集），也就是
p0?Ec
（2）要证Ec是开集，即要证Ec中的每一点均为Ec 中的内点（反证） 设E是闭集，对任一p0?Ec，假如p0不是Ec的内点，则p0 的任一邻域内至少有一个属于E的点，而且这点又必异于p0 ，这样p0 就是E的聚点（§2定理1），从而必属于E（因E是闭集），与假设矛盾.故p0为Ec的内点
另证，
（1） 设E是开集，则E=E ，由闭包、开核对偶关系，得
?E=(E)c?Ec ，可见Ec是闭集
c?（2）E是闭集?E=E?Ec?(E)c
??Ec为开集
正由于开集和闭集的这种对偶关系，在许多情况下，我们将闭集看做是由开集派生出来的一个概念。也就是说，如果定义了开集，闭集也就随之确定。
定理3 任意多个开集之并仍是开集，有限多个开集之交仍是开集.（开集的
任意并，有限交仍为开集）
证明 第一部分显然，现证明第二部分。不妨就设两个开集来证明.设G1，
G2为开集，任取p0?G1?G2.因p0?Gi,i?1,2,故存在?i(p0)?Gi.i?1,2，由§1
邻域性质（2），存在?3(p0)??1(p0)??2(p0)，从而?3(p0)?G1?G2，可见
p0是G1?G2的内点.
注意：任意多个开集的交不一定是开集，例如，
11 （ n?1,2,3···）， Gn=（-1-,1+）nn每个Gn是开集，但?Gn=[-1,1]不是开集,
n=1?定理4 任意多个闭集之交仍为闭集，有限多个闭集之并仍为闭集. (闭集的
任意交，有限并仍为闭集)
证明 （利用德摩根公式）设Fi,i??（或i?1,2，···，m），是闭集， 则有
定理2知各是Fi开集，从而由定理3 ?Fi（或?Fi）也是开集，但由德摩
i??i?1ccmc根公式有
c?Fi??(Fi)(或?Fi=?Fic）)
i?1i=1ccmcmi??故再利用定理2便知?Fi(或?Fi) 是闭集.
i??i?1m注意： 任意多个闭集的和不一定是闭集，例如
11··） Fn=[,1-] （n?3,4·
nn则Fn 是闭集，而?Gn=(0,1)不是闭集
n=3?例 设F1,F2是R1中两个互不相交的闭集.证明，存在两个互不相交的开集G1，
G2,使G1?F1,G2?F2.
证明
（1）对任何P?F1 ，有d(P,F2)?0 。事实上，若有P0?F1使d(P,F2)?0 则由于d(P,F2)?infd(P0,P) 所以由下确界定义，存在点列{Pn}?F2 , 使
limd(P0，Pn)?d(P0，F2)?0
n??因此P0?F2??F2，这与F1?F2??矛盾. 同理任取Q?F2，有d(Q,F1)?0 （2）构造G1，G2，st.F1?G1,F2?G2.
1?p),令对每个P?F1，以?p?d(P,F2)为半径，做P的邻域?(P,2G1??(P,?p),则G1是开集且F1?G1.
1同理，对每个Q?F2，以?q?dQF(,)1为半径做Q的邻域?(Q,?q),则G2是
2开集且F2?G2
（3）下证G1?G2?? 若G1?G2??则存在p0?G1?G2， 由G1及G2的作法知必有P?F1，Q?F2使p0??(P,?P)和p0??(Q,?q)，即d(P0,P)??p?1同理d(P0,Q)?d(Q,F1)，从而有
21d(P,F2),21d(P,Q)?d(P,P0)?d(Q,P0)?[d(P,F2)?d(Q,F1)].
2注意到
d(P,F2)?d(P,Q), d(Q,F1)?d(P,Q)
故有
1d(P,Q)?[d(P,F2)?d(Q,F1)]?d(P,Q),
2由于F1?F2?? 所以P?Q 因此d(P,Q)?0 ,得到矛盾，这就证明了
G1?G2??
注：两个闭集F1,F2不相交并不能推出它们之间的距离
d(F1,F2)?infd(P,Q)?0
P?F1Q?F2在数学分析中大家已经学习了以下的海涅—博雷尔（Heine—Borel）有限覆盖定理：设I是Rn中的闭区间，u是一族开区间，它覆盖了I，则在u 中一定存在有限个开区间，它们同样覆盖了I
我们下面要把上述定理推广成更一般的形式。
定理5（海涅—博雷尔有限覆盖定理）
设F是一个有界闭集，u是一族开集{Ui}i?? ，它覆盖了F（即F??i）
i??则u中一定存在有限多个开集U1,U2,···Um，它们同样覆盖了F（即F??i）
i??证明 因F是有界闭集，所以在Rn中存在闭区间I包含F.
记D为由u中的全体开集与开集Fc一起组正的新开集族，则 D覆盖了
Rn因此也覆盖了I. 对于I中的任一点P，存在D中开集?P 使得P?UP,
因而存在开区间IP?UP 并且P?IP，所以开区间族{IP|P?I}覆盖了I.由数学分析中的有限覆盖定理，在这族开去开中存在有限个开区间，设为
IP1,IP2···IPm， 仍然覆盖了I，则由 F?I,及IP?UP, i?1,2,···m，得
ii··UPm覆盖了F ，定F??Upi.如果开集Fc不在这m个开集中 则UP1,UP2·
i?1m理得证；否则从这m个开集中去掉Fc，因为Fc与F不相交，所以剩下的 m-1个开集仍然覆盖了F.