由韦达定理，可得x1+x2=
，
∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中﹣＜k＜，
∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x﹣）+y=，其中＜x≤3； （3）结论：当k∈（﹣一个交点． 理由如下： 联立方程组
2
2
22
，）∪{﹣，}时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有
，
2
2
消去y，可得：（1+k）x﹣（3+8k）x+16k=0， 令△=（3+8k）﹣4（1+k）?16k=0，解得k=±， 又∵轨迹C的端点（，±
）与点（4，0）决定的直线斜率为±
，
2
2
2
2
∴当直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时， k的取值范围为（﹣
，
）∪{﹣，}．
【点评】本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题，注意解题方法的积累，属于难题．
21．（14分）（2015?广东）设 a为实数，函数 f（x）=（x﹣a）+|x﹣a|﹣a（a﹣1）． （1）若f（0）≤1，求a的取值范围； （2）讨论 f（x）的单调性；
（3）当a≥2 时，讨论f（x）+ 在区间 （0，+∞）内的零点个数．
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的判断与证明；根的存在性及根的个数判断．
【专题】开放型；函数的性质及应用；导数的综合应用． 【分析】（1）利用f（0）≤1，得到|a|+a﹣1≤0，对a分类讨论求解不等式的解集即可． （2）化简函数f（x）的解析式，通过当x＜a时，当x≥a时，利用二次函数f（x）的对称轴求解函数的单调区间即可．
2
（3）化简F（x）=f（x）+，求出函数的导数，利用导函数的符号，通过a的讨论判断函数的单调性，然后讨论函数的零点的个数．
2
【解答】解：（1）若f（0）≤1，即：a+|a|﹣a（a﹣1）≤1．可得|a|+a﹣1≤0， 当a≥0时，a
，可得a∈[0，]．
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当a＜0时，|a|+a﹣1≤0，恒成立． 综上a
．
；
∴a的取值范围：（2）函数 f（x）
==，
当x＜a时，函数f（x）的对称轴为：x=y=f（x）在（﹣∞，a）时是减函数， 当x≥a时，函数f（x）的对称轴为：x=y=f（x）在（a，+∞）时是增函数，
=a+＞a，
=a﹣＜a，
（3）F（x）=f（x）+=，
，
当x＜a时，
所以，函数F（x）在（0，a）上是减函数． 当x≥a时，因为a≥2，所以，F′（x）=
═
=，
，
所以，函数F（x）在（a，+∞）上是增函数．
F（a）=a﹣a+．当a=2时，F（2）=0，此时F（x）有一个零点，当a＞2时，F（a）=a﹣a+，
2
2
F′（a）=1﹣2a==．
所以F（ah）在（2，+∞）上是减函数，
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所以F（a）＜，即F（a）＜0，
当x＞0且x→0时，F（x）→+∞；当x→+∞时，F（x）→+∞，所以函数F（x）有两个零点． 综上所述，当a=2时，F（x）有一个零点，a＞2时F（x）有两个零点．
【点评】本题考查的知识点比较多，包括绝对值不等式的解法，函数的零点，函数的导数以及导数与函数的单调性的关系，考查分类讨论思想的应用，函数与方程的思想，转化思想的应用，也考查化归思想的应用．
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参与本试卷答题和审题的老师有：wkl197822；changq；maths；双曲线；刘长柏；吕静；沂蒙松；qiss；lincy；sxs123；cst（排名不分先后） 菁优网
2016年6月8日
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考点卡片
1．交集及其运算 【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B． 符号语言：A∩B={x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集． 运算形状：
①A∩B=B∩A．②A∩?=?．③A∩A=A．④A∩B?A，A∩B?B．⑤A∩B=A?A?B．⑥A∩B=?，两个集合没有相同元素．⑦A∩（CUA）=?．⑧CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB）．
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
2．子集与交集、并集运算的转换 【知识点的认识】
观察两个集合之间的关系如图
子集与交集、并集运算的转换的基本运算的一些结论： A∩B?A，A∩B?B，A∩A=A，A∩?=?，A∩B=B∩A
A A∪B，B A∪B，A∪A=A，A∪?=A，A∪B=B∪A （CUA）∪A=U，（CUA）∩A=? 若A∩B=A，则A?B，反之也成立． 若A∪B=B，则A?B，反之也成立． 若x∈（A∩B），则x∈A且x∈B
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