23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线
C:?sin2??2acos?(a?0)，已知过点
P(?2,?4)的直线L的参数方程为：
?2t?x??2??2，直线L与曲线C分别交于M,N． ?2?y??4?t?2?
（1）写出曲线C和直线L的普通方程；
（2）若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值．
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x)?|2x?1|?|2x?3|. （1）求不等式f(x)?6的解集；
（2）若关于x的不等式f(x)?|a?1|的解集非空，求实数a的取值范围．
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参考答案
一、选择题： 题号 答案 1 B 2 A 3 B 4 D 5 D 6 B 7 A 8 C 9 C 10 A 11 C 12 D 二、填空题： 13．
8?； 14．； 15．①③④； 16．ln2． 33三、解答题： 17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）依题意，有cosx?0，解得x?k?＋即f(x)的定义域为｛x|x?R，且x?k?＋
?， 2?，k?Z｝---------4分 21?2sin(2x?)4＝－2sinx＋2cosx----------7分 （Ⅱ）f(x)?cosx?f(?)＝－2sin?＋2cos? 由?是第四象限的角，且tan????f(?)＝－2sin?＋2cos?＝18．（本小题满分12分）
解:（I）f(x)?sin(2x??443可得sin?＝－，cos?＝-----------10分 35514-------------12分 5?6)?1 …………3分
???12?x?5???2? ???2x?? 12363??3?3??sin(2x?)?1? ?1??sin2(x?)?1?0 2626则f(x)的最小值是?1?（II）f(c)?sin(2C?3,最大值是0． ????????6分 2?6)?1,
?2)?1?0,则sin(2C??0?C??,?0?2C?2?,????2C???11?,
666?2C??6???C?3, ????????????????8分 2,
17
?向量m?(1,sinA)与向量n?(2,sinB)共线
1sinA?2sinB， ??????????????????10分 ?由正弦定理得，
a1? ① b2由余弦定理得，c2?a2?b2?2abcos?3，即a?b?ab?3 ②
22由①②解得a?1,b?2． ?????????????????12分 19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）当x?c时，P?122，?T?x?2?x?1?0
333------------------------2分
当1?x?c时，P?1， 6?x119x?2x2 ?T?(1?)?x?2?()?x?1?6?x6?x6?x综上，日盈利额T（万元）与日产量x（万件）的函数关系为：
?9x?2x2,1?x?c?T??6?x?0,x?c?-------------------------------------6分
（Ⅱ）由（1）知，当x?c时，每天的盈利额为0 当1?x?c时，
9x?2x29T??15?2[(6?x)?]?15?12?3
6?x6?x当且仅当x?3时取等号------------------8分 所以(i)当3?c?6时，Tmax?3，此时x?3
2x2?24x?542(x?3)(x?9)? (ii)当1?c?3时，由T??2(6?x)(6?x)2
9x?2x29c?2c2知函数T?在[1,3]上递增，?Tmax?，此时x?c--------------------10
6?x6?c分
综上，若3?c?6，则当日产量为3万件时，可获得最大利润
若1?c?3，则当日产量为c万件时，可获得最大利润--------------------------12分
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20．（本小题满分12分）
解：（I）?f(x)是二次函数，且f(x)?0的解集是(0,5),
?可设f(x)?ax(x?5)(a?0).--------------------------------2分
?f(x)在区间??1,4?上的最大值是f(?1)?6a.
由已知，得6a?12,
?a?2,?f(x)?2x(x?5)?2x2?10x(x?R).（II）方程f(x)?3-----------------------------4分
37?0等价于方程2x3?10x2?37?0. x22设h(x)?2x?10x?37,则h'(x)?6x?20x?2x(3x?10).
10)时，h'(x)?0,h(x)是减函数； 310当x?(,??)时，h'(x)?0,h(x)是增函数．------------------------8分
3101?h(3)?1?0,h()???0,h(4)?5?0,
3271010?方程h(x)?0在区间(3,),(,4)内分别有惟一实数根，而在区间(0,3),(4,??)33当x?(0,内没有实数根．---------------------------------------------------------------10分 所以存在惟一的自然数m?3,使得方程f(x)?37?0在区间(m,m?1)内有且只有两x个不同的实数根．-------------------------------------------------------12分 21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）f `（x）＝－[x2＋（a－2）x＋b－a ]e3x,
－由f `（3）=0，得 －[32＋（a－2）3＋b－a ]e33＝0，即得b＝－3－2a，---------------2
分
－则 f `（x）＝[x2＋（a－2）x－3－2a－a ]e3
－－x
＝－[x2＋（a－2）x－3－3a ]e3x＝－（x－3）（x＋a+1）e3x．
－令f `（x）＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是极值点， 所以x1?x2，那么a≠－4． 当a<－4时，x2>3＝x1，则
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在区间（－∞，3）上，f `（x）<0， f （x）为减函数； 在区间（3，―a―1）上，f `（x）>0，f （x）为增函数；
在区间（―a―1，＋∞）上，f `（x）<0，f （x）为减函数．-----------------------4分 当a>－4时，x2<3＝x1，则
在区间（－∞，―a―1）上，f `（x）<0， f （x）为减函数； 在区间（―a―1，3）上，f `（x）>0，f （x）为增函数；
在区间（3，＋∞）上，f `（x）<0，f （x）为减函数．-------------------------------6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>0时，f （x）在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f （x）在区间[0，4]上的值域是[min{f （0），f （4） }，f （3）]， 而f （0）＝－（2a＋3）e3<0，f （4）＝（2a＋13）e1>0，f （3）＝a＋6，
－
那么f （x）在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e3，a＋6]．--------------------8分 又g(x)?(a?225x)e在区间[0，4]上是增函数， 42525，（a2＋）e4]，-----------------10分 44且它在区间[0，4]上的值域是[a2＋
由于（a2＋
1251）－（a＋6）＝a2－a＋＝（a?）2≥0，所以只须仅须
244（a2＋
325）－（a＋6）<1且a>0，解得0
243）．-----------------------------------------------12分 2ECDFAOHB故a的取值范围是（0，
四、选考题： 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
证明：（Ⅰ）连接OD，可得 ?ODA??OA?D?DA COD∥AE----------------------------------------3分 又AE?DE?OD?DE
?DE是⊙O的切线．----------------- ------------5分 （Ⅱ）过D作DH?AB于H，则有?DOH??CAB
AC3?．------------------6分 AB5设OD?5x，则AB?10x,OH?3x,DH?4x ?cos?DOH?cos?CAB??AH?8x,AD2?80x2--------------------------8分
由?ADE∽?ADB可得AD2?AE?AB?AE?10x
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