高考数学常用公式及结论200条
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集合{aan1,2,?,an}的子集个数共有2 个；真子集有2n–1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n–2个.
? 集合A中有M个元素，集合B中有N个元素，则可以构造M*N个从集合A到集合B的映射；二次函数，二次方程 ?
二次函数的解析式的三种形式
一般式fx()?ax2?bxc?(a?0); 顶点式fx()?a(xh?)2?k(a?0); 零点式f(xa)??(xx1)(x?x2)(a?0). ?
解连不等式N?f(x)?M常有以下转化形式 N?f(x)?M?[f(xM)?][f(xN)??]0 ?|f()x?MN?2|?MN?2?f(x)?NM?f(x)?0
?1f(x)?N?1M?N.
?
方程
f(x)?0在(k1,k2)上有且只有一个实根,与f(k1)f(k2)?0不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程ax2?bx?c?0(a?0)有且只
有一个实根在
(k1,k2)内,等价于
f(k1)f(k2)?0,或
f(k1)?0且
k1??b2a?k1?k22,或f(k2)?0且k1?k22??b2a?k2.
?
闭区间上的二次函数的最值
二次函数
f(x)?ax2?bx?c(a?0)在闭区间?p,q?上的最值只能在x??b2a处及区
间的两端点处取得，具体如下：
(1)
当
a>0
时
，
若
x??b2a??p,q?，
则
f()xmi??nf(b2a),f()xma?x?maxf()p?；f, q()x??b2a??p,q?，fx()max?max?fp(),fq()?，fx()min?min?fp(),fq()?. (2)当a<0时，若x??b2a??p,q?，则fx()min?min(?fp),fq()?，若x??b2a??p,q?，则fx()max?max(?fp),f(q)?，fx()min?min(?fp),f(q)?. ?
一元二次方程的实根分布
依据：若
f(m)f(n)?0，则方程f(x)?0在区间(m,n)内至少有一个实根 .
设
f(x)?x2?px?q，则 ?p2?4q?0（1）方程
f(x)?0在区间(m,??)内有根的充要条件为
f(m)?0或??；
???p2?m??f(m)?0f(n)?0（2）方程
f(x)?0在区间(m,n)内有根的充要条件为
f(m)f(n)?0?或???p2?4q?0???m??p2?n(1)(2)(3)或??f(m)?0或??f(n)?0?af(n)?0?af(m)?0；
?p2?4q?（3）方程
f(x)?0在区间(??,n)内有根的充要条件为
f(m)?0或?0? .
???p2?m? 定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(1)在给定区间(??,??)的子区间L（形如??,??，???,??，??,???不同）上含参数的二次不等式
f(x,t)?0(为参数)恒成立的充要条件是
f(,)xtmin?0(x?L). (2)在给定区间(??,??)的子区间上含参数的二次不等式f(x,t)?0(为参数)恒成立的
充要条件是
f(,)xtman?0(x?L). ?a?0(3)
f(x)?ax4?bx2?c?0恒成立的充要条件是??b?0或???a?0?c?0?b2?4ac?0.
简易逻辑 ?
真值表 ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假
? 常见结论的否定形式
原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有（n?1）个 小于 不小于 至多有n个 至少有（n?1）个 对所有x， 存在某x， 成立 不成立 p或q ?p且?q 对任何x， 存在某x， 不成立 成立 p且q ?p或?q
? 四种命题的相互关系
原命题 互逆 逆命题 若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ 互 互 互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否 否命题 逆否命题 若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ
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充要条件
（1）充分条件：若
p?q，则p是q充分条件.
（2）必要条件：若q?p，则p是q必要条件. （3）充要条件：若p?q，且q?p，则p是q充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
函数 ?
函数的单调性
(1)设x1?x2??a,b?,x1?x2那么 (xxf(x1)?f(x2)1?2)?f(x1)?f()x2??0?x?0?f(x)在?a,b?1?x上是增函数；2(xx1?2)?fx()1?fx()2??0?f(x1)?f(x2)x?0?f(x)在?a,b?上是减函数. 1?x2
(2)设函数
y?f(x)在某个区间内可导，如果f?(x)?0，则f(x)为增函数；如果f?(x)?0，则f(x)为减函数.
?
如果函数
f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)?g(x)也是减函数; 如果函数
y?f(u)和u?g(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数
y?f[g(x)]是增函数. ?
奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;在对称区间上，奇函数的单调性相，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的y轴对称，那么这个函数是偶函数，如果一个奇函数的定义域包括0，则必有f(0)=0;
?
若函数
y?f(x)是偶函数，则f(x?a)?f(?x?a)；若函数y?f(x?a)是偶函数，则f(x?a)?f(?x?a). ?
对于函数
y?f(x)(x?R),f(x?a)?f(b?x)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数x?a?b2;两个函数y?f(x?a)与y?f(b?x) 的图象关于直线
x?a?b2对称.
?
若f(x)??f(?x?a),则函数y?f(x)的图象关于点(a2,0)对称; 若
f(x)??f(x?a),则函数y?f(x)为周期为2a的周期函数.
?
多项式函数P(x)?axn?axn?1nn?1???a0的奇偶性 多项式函数P(x)是奇函数?P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数P(x)是偶函数?P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
? 函数
y?f(x)的图象的对称性
(1)函数
y?f(x)的图象关于直线对称?fa(??x)fa(?x) ?f(2ax??)fx(). (2)函数
y?f(x)的图象关于直线x?a?b2对称?f(a?mx)?f(b?mx) ?f(a?b?mx)?f(mx). ?
两个函数图象的对称性
(1)函数
y?f(x)与函数y?f(?x)的图象关于直线(即y轴)对称.
(2)函数
y?f(mx?a)与函数y?f(b?mx)的图象关于直线x?a?b2m对称.
(3)函数
y?f(x)和y?f?1(x)的图象关于直线y=x对称. ?
若将函数
y?f(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数y?f(x?a)?b的图象；若将曲线
f(x,y)?0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线
f(x?a,y?b)?0的图象. ?
互为反函数的两个函数的关系
f(a)?b?f?1(b)?a.
? 若函数
y?f(kx?b)存在反函数,则其反函数为y?1[f?1k(x)?b],并不是y?[f?1(kx?b),而函数y?[f?1(kx?b)是y?1k[f(x)?b]的反函数. ?
几个常见的函数方程
正比例函数
f(x)?cx,f(x?yf)?(x)?f(y),(f1)?c.
同，欧函数相反；图象关于 (1)(2)指数函数f(x)?ax,f(x?y)?f(x)f(y),f(1)?a?0. (3)对数函数
f(x)?logax,f(xy)(?fx)(?fy),f(a)?1(a?0,a?1). (4)幂函数f(x)?x?,
fx(y)?fx()()fyf,'(1)??. (5)
余
弦
函
数
f(x)?cosx,正弦函数
g(x)?sinx，
f(x?yf)?(x)f(y)?g(x)g(y)， f(0)?1,lgx()xi?m0x?1. ? 几个函数方程的周期(约定a>0)
（1）
f(x)?f(x?a)，则f(x)的周期T=a； （2）
f(x)?f(x?a)?0，或f(x?a)?1f(x)(f(x)?0)， 或
f(x?a)??11f(x)(f(x)?0),或2?f(x)?f2(x)?f(x?a),(f(x)??0,1?),则
f(x)的周期T=2a；
(3)
f(x)?1?1f(x?a)(f(x)?0)，则f(x)的周期T=3a；
(4)
f(xf(x1)?f(x)1?x2)?21?f(x)f(x且
12)f(af)?1((x1)?f(x2)?1,0?|x1?xa2|?2)，则f(x)的周期T=4a； (5)
f(x)?f()x?a?f(x??2a)f(x3a)?f(x?4a) ?f(x)f()x?af(x?2a)f(x?3a)f(x?4a),则f(x)的周期T=5a； (6)
f(x?a)?f(x)?f(x?a)，则f(x)的周期T=6a. 指数与对数
? 分数指数幂
mm(1)an?1nam（a?0,m,n?N?，且n?1）.(2)a?n?1m（a?0,m,n?N?，
an且n?1）.
? 根式的性质
（1）(na)n?a（.
2）当n为奇数时，nan?a；当n为偶数时，nan?|a|???aa,?0??aa,?0. ?
有理指数幂的运算性质
(1) ar?as?ar?s(a?0,,rsQ?). (2) (ars)?aars(?0,,rs?Q). (3)(ab)r?arrb(a?0,b?0,rQ?).
注： 若a＞0，p是一个无理数，则ap
表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.
?
指数式与对数式的互化式
logaNb??ab?N(a?0,a?1,N?0).
? 对数的换底公式
loglogmNaN?log (,且a?1,m?0,且,
N?0).
ma推论 lognamb?nmlogab(,且a?1,m,n?0,且,n?1,
N?0). ? 对数的四则运算法则
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1)log(MN)l?ogM?logN;(2) logMaaaaN?logaM?logaN; (3)lognaM?nlogaM(n?R). ?
设函数f(x)?logm(ax2?bx?c)(a?0),记??b2?4ac.若f(x)的定义域为
R,则a?0，且??0;若f(x)的值域为R,则a?0，且??0.对于
a?0的情形,需要单独检验.
?
对数换底不等式及其推广
若,,,x?1a,则函数y?logax(bx) (1)当时,在和(1a,??)上y?logax(bx)为增函数. ，
(2)当时,在和1(a,??)上y?logax(bx)为减函数. 推论:设n?m?1，p?0，，且a?1，则
（1）logm?nm?p(np?)?logmn.（2）log2amlogan?loga2. ?
平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N，平均增长率为
p，则对于时间
x的总产值
y，有
y?N(1?p)x.
39.数列的同项公式与前n项的和的关系
a???s1,n?1n的前n项的和为?s?s,n?( 数列{an}sn?aa1?2???an) nn?12 数列 ?
等差数列的通项公式a?a?(n?1)d?dn?a?d(n?N*n11)； 其前n项和公式为sn(a1?an)nn(?1)d2n?2?na1?2d?2n?(a1?12d)n. ?
等比数列的通项公式aan?1n?1q?a1q?qn(n?N*)； 其前n项的和公式为
?a1(1?qn)?a1?as?1?q,q?1nq或s???1?q,q?1n??n.
??na1,q?1??na1,q?1?
等比差数列
?an?:an?1?qadn?,a1?b(q?0)的通项公式为 ?a?b?(n?1)d,q?1n??n?bq?(d?bq)n?1?d?q?1,q?1； 其前n项和公式为
?nb?nn(?1)d,(q?sn??1)???(b?d1?q)1?qnq?1?d1?qn,(q?1). ?
分期付款(按揭贷款)
?ab(1?b)n每次还款x(1?b)n?1元(贷款a元,n次还清,每期利率为b).
三角函数 ?
常见三角不等式
（1）若
x?(0,?2)，则
sinx?x?tanx.(2)
若
x?(0,?2)?inx?cosx?2. (3) |sin|x?|cosx|?1.
?
同角三角函数的基本关系式
sin2??cos2??1，tan?=
sin?cos?，tan??cot??1.
，则
1s