（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直.
115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a＋b=b＋a．
(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)． (3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．
116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广
始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.
117.共线向量定理
对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b?存在实数λ使a=λb．
P、A、B??三点共线?AP||AB?AP???t?A?B????O?P???(1?t)?O??A??t?O?B??. AB||CD????AB?????????、CD共线且AB、CD不共线?AB?t?C?D??且AB、CD不共线.
118.共面向量定理
向量p与两个不共线的向量a、b共面的?存在实数对x,y,使
p?ax?by．
????????????推论 空间一点P位于平面MAB内的?存在有序实数对x,y,使MP?xMA?yMB， ?????????????????或对空间任一定点O，有序实数对x,y，使OP??OMxMA?yMB. ????????????????119.对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足OP??xOAyOB?zOC（x?y?z?k）
，则当k?1时，对于空间任一点O，总有P、A、B、C四点共面；当k?1时，若O?平面ABC，则P、A、B、C四点共面；若O?平面ABC，则P、A、B、C四点不共面．
AB、、 C、D ????????四点共面?AD与AB????、AC??????共面?AD?xAB???y?A?C??? ?O?D???(1)?x?y?O??A??x?O?B???y?O?C??（O?平面ABC）.
120.空间向量基本定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．
推论 设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，
???P????xO??A?y?O??B??z?O??C?z，使O. 121.射影公式
???B?已知向量A=a和轴，e是上与同方向的单位向量.作A点在上的射影A，作B点在上的射影B，则
A'B'?|?A?B??|cos〈a，e〉=a·e 122.向量的直角坐标运算
设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)则
(1)a＋b＝(ab1?1,a2?b2,a3?b3)； (2)a－b＝(ab1?1,a2?b2,a3?b3)； (3)λa＝(?a1,?a2,?a3) (λ∈R)； (4)a·b＝a11b?a2b2?a3b3； 123.设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则
?A?B????O?B????O??A?= (x2?x1,y2?y1,z2?z1). 124．空间的线线平行或垂直
r设a?(x1,yr1,z1)，b?(x2,y2,z2)，则 raPrb?ra??rb(rb?r?x1??x20)???y?1??y2； ?z1??z2ra?rb?ra?rb?0?x12x?y12y?z12z?0. 125.夹角公式
设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则
cos〈a，b〉=a11b?a2b2?a3b3a2?a22222.
12?a3b1?b2?b3推论 (ab?ab??ab)2(a2?a2??a2)(b2221122331231b23?b)，此即三维柯西不等式. 126. 四面体的对棱所成的角 四面体
ABCD中, AC与BD所成的角为?,则
cos??|(ABC2?D2)?(BCD2?A2)|2AC?BD.
127．异面直线所成角
cos??|cosra,rb|
=|ra?rb||x1x2?yy?zz||rab||?r|?1212x21?y21??z2222
1x2?y2?z2?（0o???90or,r）为异面直线a,b所成角，ab分别表示异面直线a,b的方向向量）128.直线AB与平面所成角
??????arcsinA|?A?B?Bm????||?m???|(m为平面?的法向量).
129.若?ABC所在平面若?与过若AB的平面?成的角?,另两边AC,BC与平面?成的角分别是?1、?2,
A、B为?ABC的两个内角，则
sin2?2?2221?sin2?(sinA?sinB)sin?. 特别地,当?ACB?90?时,有
sin2?221?sin?2?sin?. 130.若?ABC所在平面若?与过若
AB的平面?成的角?,另两边AC,BC与平面?成的角分别是?1、?2,
A'、B'为?ABO的两个内角，则
tan2?1?tan2?2'2'22?(sinA?sinB)tan?. 特别地,当?AOB?90?时,有
sin2?1?sin2?22?sin?. 131.二面角??l??的平面角
????arccosmn????????|?m||n|或??arccosmn|?m??||???n|（m，n为平面?，?的法向量）.
132.三余弦定理
设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为?1，AB与AC所
成的角为?2，AO与AC所成的角为?．则cos??cos?1cos?2. 133. 三射线定理
若夹在平面角为?的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是?1,?2,与二面角的
棱所成的角是θ，则有sin2?sin2??sin2??sin221?2?sin?1sin?2cos? ; （其中
??(当且仅当??90时等号成立). |1?|??180?(?)212????? 139.三个向量和的平方公式
134.空间两点间的距离公式
若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则 ????????????2222 ( a?b?c)?a?b?c?2a?b?2b?c?2c?a???????????????222 ?a?b?c?2|a|?|b|cosa,b?2|b|?|c|cosb,c?2|c|?|a|cosc,a?A?B??|??A?B????A?B?? d=|?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2A,B. 135.点Q到直线距离
h?1(|a|22???|a||b|)?(ab?)(点P在直线上，直线的方向向量
PA?a=，向量
????b=PQ).
136.异面直线间的距离
d?|???CD????n??|?|n|(l1,l2是两异面直线，其公垂向量为n，C、D分别是l1,l2上任一点，d为
l1,l2间的距离).
137.点B到平面?的距离
???????d?|AB|??n|?n|（n为平面?的法向量，AB是经过面?的一条斜线，A??）.
138.异面直线上两点距离公式
d?h2?m2?n2?2mncos?.
d?h2?m2?n2?2mncos?E?A??',?A?F??. d?h2?mn2?2?2mncos?（??E?AA'?F）.
(两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段
AA'的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、F，
AE'?m,AF?n,EF?d).
140. 长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为l1、l2、l3，夹角分别为
?1、?2、?3,则有 l2?l2222221?l2?l3??cos?1cos?2?cos?3?1??sin2?1sin2?2?sin2?3?2.
（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.
141. 面积射影定理
S?S'cos?.
(平面多边形及其射影的面积分别是S、S，它们所在平面所成锐二面角的为?).
142. 斜棱柱的直截面
已知斜棱柱的侧棱长是,侧面积和体积分别是S斜棱柱侧和V斜棱柱,它的直截面的周长和面积
分别是c和S1,则
①S斜棱柱侧?cl1. ②V斜棱柱?Sl1. 143．作截面的依据
三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 144．棱锥的平行截面的性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面
距离与棱锥高的平方比．
145.欧拉定理(欧拉公式)
VFE???2(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F). （1）E=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n的多边形，则面数F与棱数
E的关系：E?12nF；
（2）若每个顶点引出的棱数为m，则顶点数V与棱数E的关系：E?12mV.
146.球的半径是R，则 其体积V?43?R3, 其表面积S?4?R2． 147.球的组合体
(1)球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:
棱长为a的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为. 148．柱体、锥体的体积
V1柱体?3Sh（S是柱体的底面积、h是柱体的高）. V锥体?13Sh（S是锥体的底面积、h是锥体的高）.
排列组合
?
分类计数原理（加法原理）
N???m1m2??mn. ?
分步计数原理（乘法原理）
N???m1m2??mn. ?
排列数公式
Am=n(n?1)?(n?m?1)=n！n(n?m)！.(n，m∈N*
，且m?n)．
注:规定0!?1. ?
排列恒等式
）Amn?(nm??1)Am?1n; 2）Amn?nmn?mAn?1;
3）
Ammn?nA?1n?1; 4）nAnn?1nn?An?1?An; 5）
Amn?1?Amm?1n?mAn.
1!?2?2!?3?3!???n?n!?(n?1)!?1. ? 组合数公式 mCm=
An?1)?(n?m?1)*
nAm=
n(nm1?2???m=n！m！?(n?m)！(n∈N，m?N，且m?n).? 组合数的两个性质
(1)Cmn?mn=Cn ; (2) Cmm?1n+Cn=Cmn?1.
注:规定C0n?1.
?
组合恒等式
1）Cm?n?m?1m?1nmCn;
(1（（（（(6)
（（2）Cmnn?n?mCmn?1;
（3）Cmnm?1n?mCn?1;
n （4）
?Crnn=2;
r?0（5）Crrr?Cr?1?Crr?2???Crr?1n?Cn?1. (6)C012rnnn?Cn?Cn???Cn???Cn?2. (7)C135024n?1n?Cn?Cn???Cn?Cn?Cn??2. (8)C123nn?1n?2Cn?3Cn???nCn?n2. (9)Cr0r?110rrrmCn?CmCn???CmCn?Cm?n. (10)(C0)2?(C1)2?(C2)2?n2nnnn??(Cn)?C2n. ?
排列数与组合数的关系
Amn?m！?Cmn .
? 单条件排列
以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列. （1）“在位”与“不在位” ①某（特）元必在某位有
Am?1mm?1n?1种；②某（特）元不在某位有An?An?1（补集思想）
?A1m?1m1m?1n?1An?1（着眼位置）?An?1?Am?1An?1（着眼元素）种.
（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）
①定位紧贴：k(k?m?n)个元在固定位的排列有Akm?kkAn?k种.
②浮动紧贴：n个元素的全排列把k个元排在一起的排法有
An?k?1kn?k?1Ak种.注：此类问题常用
捆绑法；
③插空：两组元素分别有k、h个（k?h?1），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所有排列数有
AhkhAh?1种.
（3）两组元素各相同的插空
m个大球n个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？
当n?m?1时，无解；当n?m?1时，有Anm?1An?Cnm?1种排法. n（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为Cnm?n. ?
分配问题
（1）(平均分组有归属问题)将相异的m、n个物件等分给m个人，各得n件，其分配方法数共有N?Cnnnnn(mn)!mn?Cmn?n?Cmn?2n???C2n?Cn?(n!)m. （2）(平均分组无归属问题)将相异的m·n个物体等分为无记号或无顺序的m堆，其分配方法数共有
N?Cnmn?Cnmn?n?Cnnnmn?2n...?C2n?Cn(mn)!m!?m!(n!)m. （3）(非平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2++?nm)个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到n，n2，?，nm件，且n，n2，?，nm这m个数彼此不相等，则其分
配方法数共有N?Cn1nnmp!m!p?C2p?n1...Cnm?m!?n1!n2!...n.
m!（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2++?nm)个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到n，n2，?，nm件，且n，n2，?，nm这m个数中分别有a、b、