c、?个相等，则其分配方法数有N?Cnp1?Cnp2?n1...Cnnmm?m!pm!!a!b!c!... ?n1!n2!...nm!(abc!!!...). （5）(非平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2++?nm)个物体分为任意的n，n2，?，nm件无记号的m堆，且n，n2，?，nm这m个数彼此不相等，则其分配方法数有
N?p!n. 1!n2!...nm!（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2++?nm)个物体分为任意的n，
n2，?，nm件无记号的m堆，且n，n2，?，nm这m个数中分别有a、b、c、?个相等，
则其分配方法数有N?p!n1!n2!...nm!(a!b!c!...).
（7）(限定分组有归属问题)将相异的
p（
pn?1+n2++?nm）个物体分给甲、乙、丙，??等m个人，物体必须被分完，如果指定甲得n件，乙得n2件，丙得n3件，?时，则无论n，
n2，?，
nm等m个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有
N?Cn1?Cn...Cnpp2?n1nmm?p!n. 1!n2!...nm!? “错位问题”及其推广
贝努利装错笺问题:信n封信与n个信封全部错位的组合数为
fn()?n![12!????113!4!?(?1)n1n!].
推广: n个元素与n个位置,其中至少有m个元素错位的不同组合总数为
f(n,)m?n!?C1m(n?1)!?C2m(n?2)!?C34m(n?3)!?Cm(n?4)!???(?1)ppC(n?p)!???(?1)mCm
mm(n?m)!??n![1C1mC2mC3mC4pmmpCmmCmA1?2?2?A4???(?1)p???(?1)m]. nAnAnnAnAn?
不定方程xx1+2++?xn?m的解的个数 (1)方程xx+++?x?（n,m?N?）的正整数解有Cn?112nmm?1个.
(2) 方程xx1+2++?xn?m（n,m?N?）的非负整数解有 Cn?1n?m?1个.
(3) 方程xx+++?x?m（n,m?N?12n）满足条件xi?k(k?N?,2??in?1)的非负整数解有Cn?1m?1?(n?2)(k?1)个. (4) 方程xx1+2++?xn?m（n,m?N?）满足条件xi?k(k?N?,2??in?1)的正整数解有Cn?11n?121n?n?m?1?Cnm?2C?n?k?2?Cnm?2Cn?2n?2n?1?n?2k?3???(?1)Cn?2Cm?1?(n?2)k个. ? 二项式定理
(a?b)n?C0nan?C1nan?1b?C2nan?2b2???Crn?rrnnnab???Cnb ; 二项展开式的通项公式
Tr?1?Crnan?rbr(r?0，1，2?，n). 概率
?
等可能性事件的概率
P(A)?mn.
? 互斥事件A，B分别发生的概率的和
P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
? n个互斥事件分别发生的概率的和
P(A1＋A2＋?＋An)=P(A1)＋P(A2)＋?＋P(An)．
? 独立事件A，B同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B).
?
.n个独立事件同时发生的概率
P(A1· A2·?· An)=P(A1)· P(A2)·?· P(An)． ?
n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率
Pkkn?kn()k?CnP(1?P).\\
期望与方差 ?
.离散型随机变量的分布列的两个性质
（1）Pi?0(i?1,2,?); （2）P1?P2???1. ?
数学期望
E??x1P1??x2P2???xnPn? ?
数学期望的性质
1）E(a???b)aE(?)?b. 2）若?～B(n,p),则E??np.
(3) 若?服从几何分布,且P(???k)g(k,p)?qpk?1，则E??1p.?
?方差
D??x1?E??2?p1??x2?E??2??p2???xn?E??2??pn? ?
标准差 ??=
D?.
?
方差的性质
(1)D?a??b??a2D?；
(2）若?～B(n,p)，则D??np(1?p). (3) 若?服从几何分布,且P(???k)g(k,p)?qpk?1，则D??qp2.
?
方差与期望的关系
D??E?2??E??2.
? 正态分布密度函数
x??2f?x??1???26226?e,x????,???，式中的实数μ，?（?>0）是参数，分别表
示个体的平均数与标准差.
?
.标准正态分布密度函数
x2f?x??126?e?2,x????,???.
?
.对于N(?,?2)，取值小于x的概率
F?x?????x???????.
P?x1?x0?x2??P?x?x2??P?x?x1? ?F?x2??F?x1? ????x2????x1??????????????. ?
回归直线方程
?n??nxi?x??yi?y??xiyi???a?bx，其中??b??nxyi?11yn?i?2n???x2.
i?x?xi?nx?i?1?2i?1?a?y?bx（（
? 相关系数
n?nxi?x??yi?y???xi?x??yi?y? r??i?1i?1?nn ?nn. (x?x)22i?(yi?y)(i?1i?1?x2i?nx2)(?y2i?ny2)i?1i?1|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小.
极限
?
.特殊数列的极限
?0|q|?1（1）lni?m?qn???1q?1. ??不存在|q|?1或q??1?0(k?t)（2）lank?ak?1n?1???a?ani?mkk?0t?btt?1??(k?t). tn?bt?1n???b0?bk??不存在 (k?t)S?lima1?1?qn（3）??a1（n?1n??1?q1?qS无穷等比数列
?a1q? (|q|?1)的和）.
?
函数的极限定理
xlim?xf(x)?a?lim?f()x?l0x?x0x?imx?f()x?a.
0?
.函数的夹逼性定理
如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x0的附近满足： （1）g()x?f()x?h()x; （2）lxi?mxg()x?a,li?mxh()x?a（常数）,
0x0则limx?xf(x)?a.
0本定理对于单侧极限和x??的情况仍然成立.
?
几个常用极限
（1）lim1n??n?0，limn??an?0（|a|?1）
； （2）limx?xx?x，lim1100x?x0x?x.
0? 两个重要的极限
（1）limsinxx?0x?1；
（2）lim?1?xx????1?x???e(e=2.718281845?).
?
.函数极限的四则运算法则
若xlim?xf(x)?a，limg(x)?b，则 0x?x0(1)lxi?mx??f??x?g??x????ab； 0(2)lxi?mx???x?g??x?0?f???ab; (3)limf?x?x?x?a?b?0?.
0g?x?b?
.数列极限的四则运算法则
若lni?m?an?a,lni?m?bn?b，则 (1)lni?m??an?bn??a?b； (2)lni?m??an?bn??ab?； (3)lnimana??b??b?0?
nb(4)nli?m??c?an??lni?m?c?lni?m?acn??a( c是常数). 导数
? .
f(x)在x0处的导数（或变化率或微商）
f?(x?yf(x??x)?f(x)0)?y?x?x0?00. ?lixm?0?x??lixm?0?x?
瞬时速度
??s?(t)?l?itm?s?0?lims(t??t)?s(t)?t?t. ?t?0? 瞬时加速度 a?v?(t)?l?vv(t??t)?v(t)?itm?0?t?l?t. ?itm?0? .
f(x)在(a,b)的导数
f?(x)?y??dydx?dfdx??lixm?y?0?x??lixmfx(??x)?fx(). ?0?x? . 函数
y?f(x)在点x0处的导数的几何意义
函数
y?f(x)在点x0处的导数是曲线
y?f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f?(x0)，相应的切线方程是y?y0?f?(x0)(x?x0). ?
.几种常见函数的导数
(1) C??0（C为常数）. (2) (x)'?n?1nnx(n?Q).
(3) (sinx)??cosx. (4) (cosx)???sinx. (5)
(lnx)??1xx；(loga)??1xlogea.
(6) (ex)??ex; (ax)??axlna.
?
.导数的运算法则
（1）(u?v)'?u'?v'. （2）(uv)'?u'v?uv'.
（3）(uu'v?uv''v)?v2(v?0). ? .复合函数的求导法则
设函数u??(x)在点x处有导数u'x??'(x)，函数y?f(u)在点x处的对应点U处有导数
y'u?f'(u)，则复合函数y?f(?(x))在点x处有导数，且y'y''x?u?ux，或写作f''x(()?x)?f()u?'()x. ? 常用的近似计算公式（当
x充小时）
(1)
1?x?1?12x;n1?x?1?1nx；
(2)(1?x)??1??x(??R)； 11?x?1?x； (3)ex?1?x；
(4)ln(1?x)?x； (5)sinx?x（x为弧度）； (6)tanx?x（x为弧度）； (7)arctanx?x（x为弧度）
?
.判别
f(x0)是极大（小）值的方法
当函数
f(x)在点x0处连续时，
（1）如果在x0附近的左侧
f?(x)?0，右侧f?(x)?0，则f(x0)是极大值；
（2）如果在x0附近的左侧f?(x)?0，右侧f?(x)?0，则f(x0)是极小值.
.复数的相等
a?bi?c?di?a??c,bd.（abcd,,,?R） ?
.复数z?a?bi的模（或绝对值）
z=|a?bi|=a2?b2. ?
.复数的四则运算法则
(1)(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i; (2)(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i; (3)(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i; (4)(a?bi)?(c?di)?ac?bdc2?dc2?bc?ad2?d2i(c?di?0). ?
.复数的乘法的运算律
对于任何z1,z2,z3?C，有 交换律:z1?z2?z2?z1.
结合律:(zz1?2)?z3?z1?(zz2?3). 分配律:zz1?(2??z3)z1?z2?z1?z3 . ?
.复平面上的两点间的距离公式
dz?|221??z2|(x2?x1)?(y2?y1)（z1?x1?yi1，z2?x2?yi2）.
? .向量的垂直
?????非零复数z1?a?bi，z2?c?di对应的向量分别是OZ????1Z?，O2，则
??Z???????? Oz1?OZ2?z1?z2的实部为零?为纯虚数?|z22z1?z2|?|z1|?|z22| ?|z2221?z2|?|z1|?|z2|?|z1?z2|?|z1?z2|?ac?bd?0?z1??iz2
(λ为非零实数).
203.实系数一元二次方程的解
实系数一元二次方程ax2?bx?c?0， ①若??b2?4ac?0,则x1,2??b?b2?4ac2a; ②若??b2?4ac?0,则x1?x2??b2a; ③若??b2?4ac?0，它在实数集R内没有实数根；在复数集C内有且仅有两个共轭复数根x??b??(b2?4ac)i2a(b2?4ac?0).