习 题 六 （A）
1．根据定积分的几何意义说明下列各式的正确性 （1）（3）
解：（1）该定积分的几何意义如右图所示阴影部分面积的代数和，由对称性可知正确． （2）该定积分的几何意义如右图所示阴影部分面积的代数和，且在(?2 , 2 )范围内对称，所以是正确的．
（3）该定积分的几何意义如右图所示阴影部分面积的代数和，且关于原点对称，所以正确． （4）原式?2?2?0cosxdx?0 （2）
?2?2(x2?1)dx?21?(x022?1)dx
?xdx?0 （3）?3?111?12xdx?4?xdx
0?1?1xdx
等式左边的定积分的几何意义是右边图形阴影部分面积的代数和的2倍，且又因为阴影部分在(?1 , 1)范围内关于轴对称，所以等式两边相等．
2．不计算积分，比较下列积分值的大小 （1）（2）
解：（1）由定积分的比较性可知在(0 , 1)范围内x2?x3，所以前者大于后者． （2）由定积分的比较性可知在(1 , 3)范围内x2?x3，所以前者小于后者． （3）由定积分的比较性可知在(3 , 4)范围内lnx?(lnx)2，所以前者小于后者．a?1 （4）由定积分的比较性可知在(0 , ）范围sinx?x，所以前者小于后者．
2?xdx与?xdx （2）?xdx与?xdx
232300111133?43lnxdx与
?(lnx)dx （4）?234?20sinxdx与
??20xdx
?
3．用定积分性质估计下列积分值 （1）
解：（1）因为e?x在[0 , 1]范围内的最大值为1，最小值为e?1 所以由定积分的估值定理可知：
2?10e-x2dx （2）??5?4(1?sin2x)dx （3）
4?1x51?x?0dx （4）?20sinxdx x?10e?1dx??110e?xdx?22?ldx
01?e?1??0e?xdx?1
（2）因为1?sin2x在[? , 5?]2的最大值为2，最小值为1。
442所以由定积分的估值定理可知：
??5?4ldx??5?44?5?4(1?sin2x)dx??4?5?42dx
4 ?????(1?sin2x)dx?2?
4（3）设f(x)?4x51?x
x5则f ' (x)?令
5x1?x?421?x?x(10?9x)1?x21?x(1?x)
f ' (x)?0
则x4(10?9x)?0 , 1?x?0 解得：x?0 ,x??所以所以
10 9f(x)在(0 , ??)上单调递增
f(x)在[0 , 1]的最小值为
0，最大值是2
2所以由定积分的估值定理可知：
?100dx??1x51?xx51?x0dx??102dx 2?0??10dx?22
（4）由图中易知：AB???ADAB
其中AB?sinx，AD?tanx，AC?x 即：sinx?x?tanx 亦得到：1?0?x?x1?sinxcosx
?2，从中cosx?sinx?1 x由定积分性质有：
???20cosxdx???20sinxdx?x??201?dx
?1??2?sinx?dx?x2
1
A
y x 4．利用定积分的几何意义计算下列积分 x 0 B C D
（1）
解：（1）该定积分的几何意义是以原点为圆心2为半径的一个圆面积的一半，且在x轴的上方．
?2?22?x2dx （2）
?21(1?2x?x2)dx
所以原式??R2
??12
（2）该定积分的几何意义是以(1 , 1)为圆心，以1为半径的一个圆面积的一半且在x轴
的上方．所以原式??R2 ?? 5．求下列函数的导数 （1）f(x)12
12?x2?1te?t2dt （2）f(x)??0exxln(1?t2)dt
（3）f(x)?
?x3xedt （4）f(x)?t2?(tx3?x3)sintdt
解：（1）设te?tdt?g(t)
?22x则f(x)?g(e)?g(x2)?g(?1)令x2?m
?1f ' (x)?g '(m) m ' ?x2e?x2x?2x3e?x44
（2）设ln(1?t2)dt?g(t)
?则
f(x)?g(ex)?g(x)令ex?m
f ' (x)? g ' (m)m ' ?g ' (x)?exln(x?e2x)?ln(x?x2)
（3）设etdt?g(t)
?2则
f(x)?g(x3)?g(x)令x3?m , x?n
6f ' (x)?g ' (m)m ' ?g ' (n)n ' ?ex3x2?ex12x
（4）设(t3?x3)sint?g(t)
?则f(x)?g(x)?g(0)
f ' (x)?g ' (x)?g ' (0)?0
6．求下列极限 （1）lim（3）
1x?0x3?x1xsint2dt （2）lim2arctantdt 00x?0x?x?0lim1x3?0(x1?t2?1?t)dt2 （4）limx?0?1?x2?1xln(1?t)dt0
（5）lim1?1x(1?sin2t)tdtlntdt1?t1 （6）lim?x
x?0x01（7）?xt2xlim?????edt? ???x20??t2（9）x?dtxlim?xe?0?0x?sinx?arctanx
解：（1）?lim1x?0x3?x0t2dt
?lim113x?0x3?3tdt ?13 （2） ?lim1xx?0x2?0tdt
?xlim11?0x2 2x2x0
?12
（3）?1xxlim?0x3?(1?tan2t?1?sin20t)dt ?lim1xx?0x3?0(1cosx?cosx)dt ?lim1?xx?0x30tan x sin x dt ?lim1x?0x3?x0x2dt
?xlim1?0x3 13t3x0 x?1(x?1)2（8）1xxlim???x?(t?t2)et2?x2dt0