（7）??xdx??xdx??xlnxdx
0111ee ?x2?x2?x2(lnx?) ??(e2?1)?[e2??(?)] ??e2??e2? ?e2? （8）?14141212121414121212121212121102e1121e21
?10(x3?3x2?2x)dx??21(x3?3x2?2x)dx
?(x4?x3?x2)?(x4?x3?x2 ??1?1?[(4?8?4)?(?1?1)] ?12141414101421
?5?（9）?(sinx?cos)4?(sinx?cosx)4?04
?42
（10）??(y3?36y) ?48
25．求由抛物线y??x2?4x?3及其在点(0 , 3)和点(3 , 0)处两条切线所围成图形的面积．
解：由抛物线g??x2?4x?3及两点处的切线所围的图形如后图：
113360y
1 0
2
3
x -3
?t(0,3)处切线的斜率k1??2x?4x?0?4切线方程为：y?4x?3
?t(3,0)处切线的斜率k2??2x?412x?3?2切线方程为：y??2x?6
则阴影部分面积S??04x?3?(?x2?4x?3)dx??312?2x?6?(?x2?4x?3)?dx
??120x?6dx?2?312(x2?6x?9)dx
?334
26．过原点作曲线y?lnx的切线，求切线，x轴及曲线y?lnx所围平面图形的面积．
解：阴影部分如右图所示可求解直线方程为y?x二曲线的交点为(e , 1)
1e
y lnx
0
1
x
从而面积S??101xdx?e?e11(x?lnx)dx e11111e??x2??x2?e20e21?e112?e?xlnx?(e?1)
1e21e?(e)?(e?1) 21e?1 2?e1lndx
??
27.求过曲线y?lnx上的点(e , 1）的法线与x轴及曲线y?lnx所围平面图形的面积.
2解：可求得法线方程为：y??ex?e2?1与x轴的交点为(e?1,0)从而面积
eS??e0lnxdx??e?1ee(?ex?e2?1)dx
?1?12e
28．设由抛物线y?4x?x2、y轴和直线y?b(b?0)所围图形的面积是仅由抛物线
y?4x?x2及直线y?b所围图形面积的一半，求b的值．
解：设y?b，与抛物线的两个交点的x轴坐标是a1?2?4?b，a2?2?4?b 所以s1??2?4?b2?4?b(?b?4x?x2)dx s1??2?4?b0(b?4x?x2)dx
a112?4?b ?x3?2x2?bx ??x3?2x2?bx2
303a1 ?a13?2a12?ba1 ??a23?2a22?ba2?a13?2a12?ba1 又因为s1?s2
所以?a23?2a22?ba2?a13?2a12?ba1?2(a13?2a12?ba1) ?a23?a13?2a22?2a12?ba2?ba1?0
?(a1?a2)(a12?a22?a1a2)?2(a12?a22)?b(a1?a2)?0 ??4?[(4?4?b)?2?(4?4?b)]?4(4?4?b)?4b?0 解之得：b?
831313131213131313131313
29．设y?x2，x?[0 , 1]间t取何值时，图6-29 中阴影部分的面积S1与S2之和最大？何时最小？
解：vy?v2?v1
设y?lnx(1?x?e)s?s1?s2 v2?? e2
又因为s1?图 6-29
?t0(t2?x2)dt s??(xt12?t2)dt
?(t2x?x3) ?(x3?t2x)
4313t0131t2312t ?t2?t3 33313所以s?t3?t2?
s ' ?4t2?2t?2t(2t?1)
所以s在(0 , )单调递减，在( , 1)上单调递增。 所以当s?时，s最小。 当t?0时，s?．t?1时，s? 所以当s?1时，s最大。
1323121212
y y=
1x ey=lnx
0
x y=-ex+e2+1
30．求由抛物线(y?2)2?x?1和与抛物线相切于y0?3的切线及x轴所围图形的面积．
解：x?y2?4y?5 设x?f(y)，则f ' (y)?2y-4
所以切于y0?3的切线斜率为k?2． 由点斜式可知切线的方程为：x?2y?4．
s??330y2?4y?5?2y?4dy
??y02?6y?9dy
?3131y?6y2?9y0 329?27?27?9