31．求由下列已知曲线围成的平面图形绕指定的坐标轴旋转而成的旋转体体积． （1）xy?a2，y?0，x?a，x?2a(a?0)绕x轴．
??（2）y?sinx??0?x??与直线x??2??2，y?0分别绕x轴和y轴．
（3）y?x3，x?y2绕x轴．
（4）y?lnx，y?0，x?e，分别绕x轴和y轴． （5）y?e?x，x?0，x?1绕y轴． （6）y?5x2，x?y?6，绕x轴．
（7）x2?y2?4，x2??4(y?1)，y?0，绕x轴． （8）y?cosx,x?0,x??,y?0
解：（1）v? ?? a4?2aaa2?()dx x?2a1x2adx
???a41212a xa ?? a3 （2）绕x轴的体积
?vx????020sin2xdx
????2sinxdcosx
????(sinxcosx2?0?2cosxdx ?02????20(1?sin2x)dx
?????20ldx????20sin2xdx
因为2?20sin2xdx??2
所以v?x?24
绕y轴的体积
vy?v2?v1
v2是以y轴为中心轴，以
?为半径的，高为1的圆柱体的体积。 2v1是y?sinx(0?x??2)绕y轴旋转得到的旋转体的体积。
v2???2411?13? 4v1???0(arcsinx)2dy
13??2?4
vy?v2?v1?2?（3）v?v2?v1
v2是x?y2(0?x?1)绕x轴旋转得到的旋转体体积。
v1是y?x2(0?x?1)绕x轴旋转得到的旋转体体积。
v2????10xdx??121?x? 202171x 705?14v1??10x6dx??所以v?v2?v1?
（4）vx? e(lnx)2dx
?e1??[x(lnx)2e1??e11x?x2lnxdx]
x??[e?2?e1lnxdx]
e??[e?2(xlnx?1?e11xdx)] x??[e?2(e?(e?1))] ??(e?2)
vy?v2?v1
v2是以e为半径
1为高，以y轴为中心轴的圆柱体的体积。
v1是y?lnx(1?x?e)绕y轴旋转得到的旋转体体积。
v2?? e2 v1??dy
?(e)dy
y201???e012y??12y1 e02e2???2?2
?2(e2?1)
1所以v?v2?v1?（5）v?e?11ldy???e?1?lnydy
1?? e?1??[ylny1e??1?e?1y1dy] y?? e?1?[e?1?(1?e?1)]
?? e?1?2? e?1??
?(1?e?1)
5（6）令?6?x得：x1?1,x2?5
xv?v2?v1
v2是x?y?6(1?x?5)绕x轴所得的旋转体体积。 v1是y?5(1?x?5)绕x轴所得的旋转体体积。 xv2???56(6?x)2dx v1???515()2dx x5???51(x2?12x?36)dx ?25??1x21dx
51115 ??(x3?12x2?36x) ??25?132x1?124?3 ?20?
64?3所以v?v2?v1?
（7）v1是x2??4(y?1)(?2?x?2)绕x轴旋转所得旋转体的体积
x22v1??8(1?)
4?1?2 ?2??20x2x4(1??)dx
216 ?2?(x? x3? ?32?1511231152 x 1650
为半径的球体的体积。
v2是圆心为球心以2
43 v2???23 ?所以v?32?3
128?15(8)解：y?cosx，x?0，x??，y?0．
y 1
π
0 -1
沿y轴旋转后,体积??
122x V?2?????0x?cosx?dx?2??20xcosxdx?2??xcosxdx2??
??2?(xsinx?cosx)2?2?(xsinx?cosx)?0?2?22?
32．过曲线y?x2(x?0)某点处A作切线，使之与曲线及x轴所围图形的面积为（1）求切点A的坐标及过A的切线方程；
（2）求上述切线、曲线x轴所围图形绕x轴旋转成的旋转体体积．
解：设切点A(x0,y0)直线斜率k?2x0直线方程：y?2x0(x?x0)?y0与x轴交点为：
?y0?2x20(,0)由题设有：
2x0112．
?x00x2dx??x0?y0?2x202x0(2x0x?2x20?y0)dx?1且有y0?x20解得：x0?y0?11212从而A点坐标（1，1），切线方程为：y?2x?1与x轴交点( , 0)所求的旋转体体积
121V?2? ??0x?xdx?2?2?12x?(x2?(2x?1))dx
?30
y=x2
A
0
x