33．求曲线y?x2?2x，y?0，x?1，x?3所围成的平面图形的面积S，并求该平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体体积．
解：s?s1?s2 ??21?(x2?2x)dx??(x232?2x)dx
?(x2?x3)?(x3?x2 ?? ?2
v?(v4?v3)?(v2?v1)
v4是半径为3，以y轴为中心，以
2343132113323为高的圆柱体的体积。 4为高的圆柱体的体积。
y1是半径为1，以y轴为中心，以
v3是y?x2?2x(2?x?3)绕y轴（x轴的下方）所得旋转体体积。 v2是y?x2?2x(1?x?2)绕y轴（x轴的下方）所得旋转体体积。
v4??32?3 v1??
?27?
v3???313xdy 同理得：v2??(1?1?y)2dy2?0?1x2dy
???03 ?17?6
???(y?21?y?2)dy
0令1?y?t则y?t2?1 当y?3时，时，t?2
y?0时
t?1
119?6所以原式?
v?(v4?v3)?(v2?v1)?9?
34．已知一抛物线过x轴上两点A(1,0)，B(3,0)．
（1）求证：两坐标轴与该抛物线所围图形的面积等于x轴与该抛物线所围图形的面积． （2）计算上述两个平面图形绕x轴旋转一周产生的两个旋转体体积之比．
解：如右图所示，即要证S1?S2
y A
0 S2 1
S1 2
B 3
x
抛物线方程可表示为：y?a(x?1)(x?3)从而只需满足下式
??0?a(x?1)(x?3)?dx??a(x?1)(x?3)dx
0113左边??ax2?4ax?3dx
?1011??ax3?2ax2?3ax
03??14a?2a?3a??a 333右边???1(ax2?4ax?3)dx
313ax?2ax2?3ax
13271a?18a?9a?a?2a?3a 334a3???
证毕 （2）旋转后
V1?2??V2?x?a(x?1)(x?3)?dx ?2??x?a(x?1)(x?3)?dx??103则：可求得
V119 ?V2835．过原点作曲线y?lnx的切线，求由切线，曲线及x轴所围平面图形，分别绕x轴和
y轴旋转所得旋转体的体积．
解：所图图形如右所图所示：
y y=lnx
1
1
e
y=
1x ex 0
绕x轴旋转所得的体积为Vx，则
Vx?? ??(2?2e) 3?101(x)2dx??e?e11(x?lnx)2dx e绕y轴旋转所得的体积为V2则
Vy?2??1????(e1?)62021x?xdx?2?e?e11x?(x?lnx)dxxe
从而Vx??(2?e)，Vy??(e?1)
62232
36．设直线y?ax(0?a?1)与抛物线y?x2所围图形的面积为S1，它们与直线x?1所围成的图形面积为S2．
（1）试确定a的值，使S1?S2达到最小，并求出最小值；
（2）求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积． 解：
S1?S2?(ax?x)dx ?(x?ax)dx?201a2a?S1?S2????a0(ax?x)dx?2?1a(x2?ax)dx1213a13121ax?x?x?ax03a232
13131111a?a??a?a3?a3233232111?a3??3231对S1?S2求得可的：a2?可知当a?2时导数为0，此时取最小值，此时
2(S1?S2)min?222?26
122V????0(ax?x2)2dx??(x2?ax)2dx
???10(ax?x2)2dx
2?1?30
y y=x2
y=ax
0 a
1
x
37．某公司投资2000万元建成一条生产线，投产后，在t时刻的追加成本和增加收益分别为c(t)?5?2t（百万元/年），R(t)232?17?t3（百万元/年），试确定该生产线在何时
停产可获得最大利润？最大利润是多少？
解：由极值存在的必要条件
R ' (t)-c' (t)?0???3t23
?0可解得t?8
2?R ' (t)-C ' (t)?-3?t3?0
31故而t?8是最佳终止时间，此利润
???????80?(12?3t)dt??100?2000
??23?1840万元
38．现购买一栋别墅价值380万元，若首付50万元，以后分期付款，每年付款数目相同，10年付清，年利率为6%，按连续复利计算，问每年应付款是多少？
(e0.6?0.5448)
解：总计利息为(380?e0.6?50)?10?64.75万元=80