唐：各位老师大家好。今天我们交流研讨的话题是“注重数学本质，提高数学素养”。讨论小学数学教学中常见的“数学问题”，为什么强调是数学问题呢，是因为我们希望今天的交流能突出数学的本质，帮助大家一起提升数学素养。也正如大家常说“教什么比怎样教更重要”，我们今天讨论的就应该属于“教什么”的范畴。
张：各位老师，大家可能都听到一句俗语叫做要给学生一杯水，教师必须有一桶水。所以我们今天来谈谈小学数学的内容，大家不会觉得太简单吗？实际上我们要关注小学数学教材里边背后的内容，就是说我们是要源于教材但是要高于教材；另外，就是要居高临下，我们有一些更高的观点来观察小学教材的内容；其次，我们要有全面的整体的意识，知道小学数学教材在整个教育当中的地位和作用，然后，我们就可以心中有数；最后，小学教材虽然看来比较简单，但是它与时俱进，还是有许多时代特色需要我们展示，需要我们深入的了解。所以，我们愿意给大家来探讨小学当中的一些数学问题，我想，希望给各位理解教材，理解课程标准有所帮助。
一、数与代数领域问题的讨论
1．0为什么是自然数
唐：现在我们就按照小学数学的几大领域来选择一些问题来具体分析。我们都知道，小学数学中最大的学习领域是数与代数领域。首先我们讨论关于自然数。大家可能会问：自然数谁不懂？这里还会有数学问题吗？其实与时俱进地看，自然数的问题还真不少。大家可能争论最多的是“0本来不作为自然数，现在怎么又说是自然数了，为什么”？
张：在上世纪90年代以前，自然数不包括0，但是1993之后，就包括0在内，这当然是一个规定所产生的，那是在1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》里面有一句话说规定自然数包含0，从此之后，0就属于自然数的范围了。
唐：从近年来编写新课标小学数学教材中，我们可以发现教材也都根据上述国家标准进行了修改。具体的表述是：用0表示“一个物体也没有”所对应的计数。只是在教学中，有些老师觉得把0作为自然数，与传统不同，不太习惯。
张： 这只是习惯问题。0 是自然数有许多理由。首先，人的经验是，从无到有。魔术师先交代两手空空，再变出一只兔子，然后两只兔子??。铅笔盒中本来是空的，然后装进一支铅笔、两只等等。第二，更重要的是书写的需要，十的位置记数写法是10。没有0，就写不出10，20，30， 100。 所以0，1，2??9， 共十个数字是最基本的。第三， 0的出现可以保证自然数集有单位元 a+0 =0+a=a. 在自然数中5－5＝0，如果0不是自然数，那么5－5岂不是不能减了。此外，大数学家冯·诺依曼用集合论的语言写自然数，第一个是“空集Φ”，用0 表示， 然后把以空集为元素的集合{Φ}叫做1，依次类推。从文化的角度看来“有”也是从没有开始的。
唐： 这么说，0是自然数的说法，既有生活经验，又符合数学规则，还有文化背景和科学依据，是合乎情理的。
说起习惯，从某种意义上是老师的习惯，学生其实没有这样的习惯。从这个角度来说，有时有些新的事物老师认为难接受，但学生反而觉得好接受，可能也是这样的原因吧。
2．数位的分级是三位一级还是四位一级？
唐：下面的类似问题是关于数位的分级。自然数用十进位记数。在小学里教材上，读数与写数的时候，一向强调四位一级，分为个级、万级、亿级，但是在现实生活，无论是银行里的计数，还是信息技术中的计数都是三位一级，即个、千、百万??，从数学角度上怎样看这种现象？
张：这个问题我觉得应该“与时俱进”，在以前我关注到，小学数学教学中只讲四位一级，只讲个、万、亿。但是现在与国际接轨之后“千”的用途越来越大。所以说四位计数是我们的传统，必须保持，我们的学生应该懂，三位一级更是国际惯例，又必须与国际接轨，我们也应该让学生掌握。两种并存，是必然趋势，逐步与国际接轨。我们也注意到，像尺和寸现在就用的比较少了，米和厘米用的比较多了。将来，会通过社会的选择来确定哪一种是主要的。我想，两种都要学，这大概是不可避免的。
唐：听张老师这么一说，我们知道既要保存传统，又要与国际接轨。也有学者把数位的分级与空间图形结合起来，认为“三位一级”更符合数形结合的规律。具体地说，一个小立方体表示1，那么10个一排就是10，10个10排成1个面就是一个百，每一百算一层，10层就是一个新立方体，表示“千”。再从“千立方体”出发， 10个一排， 10排构
成面， 10个面叠成新的立方体就是一百万。这就很形象地描绘出“三位一级”的构造。这样看来，“三位一级”也是可以通过数形结合来描述这种结构。
张：我还注意到，不管是“四位一级”还是“三位一级”，百万是大家共用的名词，例如“百万雄师”，“和百万英镑，中外都用百万形容很多。所以对百万我们还应该多多的关注。
唐：张老师说起那个百万，就不仅让我想起我们经常看到的一些课题教学。我们经常听到这样的片段，1百万有多大？让学生认识 “1百万颗黄豆有多少体积。”
张：当初设计这样的教案，它的初衷是好的，就是要大家体验一下一百万是怎么样过来的。它一定是从一开始，然后到十、百、千一点一点数出来的。当数目很大的时候，数起来很费力。让儿童经历这样一个过程还是很有好处。不过，我又觉得，我们本质上还是要关注100万这个数的结构。至于说100万粒米有多大，这个不是数学要研究的问题，这是个别的体验，100万粒米， 100万颗花生， 100万个篮球有多大等像这样的问题是没有穷尽的，也不是我们每个人都需要去体验的。所以。我觉得还是要把精力放在100万的结构上面，比如100万里面有多少个1000，100万里面有多少个1万，我们每人捐款1000元，要捐到100万需要多少个人捐，这样的素材不仅有现实背景，而且还有数学意义，可能更值得我们去思考。 3．分数的定义
唐：听张老师这么说，就是我们在组织这样的活动的时候，一方面要关注现实背景，但是更重要的是要关注数学的意义。前面我们主要讨论的是关于自然数的问题。接下来我们要讨论的是一个比较难学，但却很重要的课题：分数。我想我们从分数的定义开始谈起。教材很多都是从份数的定义开始的。一般都这样描述：单位1平均分为若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。这样的描述听起来比较自然，也符合“几分之几”的称呼。因而是引入分数的首选。张老师你怎么看。 张：对，用份数的定义来引入分数是非常自然的。但我觉得这样也有缺点，最后是一份或几份，那究竟是自然数还是分数？这样不太明确。因此必须尽快过渡到分数的“商”定义，分数的定义就是，分数是两个正整数a，b，a 除以b 的商。所以分数是一个商，这个概念我们现在注意的不够，而这恰恰是我们学习分数的核心所在。用a除以b，当除的尽时（整除），就是原来的自然数，没什么问题，问题就在除不尽的情况下面，那么我们就得到了一个分数，这就是分数所以要成为分数根本的原因，就是除不尽的情况下需要分数，除的尽就不需要分数了。 例如1/4，它是一个整体平均分为4份中的一份。 但是， 这一份究竟有多大呢？ 1除以4的商是多大呢？它一定比1小，却又比0大。于是我们在数射线上可以标出它的位置：它在0和1之间，当中这一点是一半就是1/2，把1/2和0之间再分一半，那个地方就应该是1/4，这样一画，数的概念就出来了。这就显示它是一个新的数，是原来自然数所没有的数，它是我们现在要研究的对象。商的分数的定义比份数的