张：中国在商代，就是现在出土的文物中就有尺了，那个尺里面就有寸，而且是十进位的，所以这个是有考古的实物为证的，所以小数在商代就出现了。分数根据记载是在春秋时代出现的，比商代就要晚很多了。从中国的小数和分数出现的时间来说，是先有小数，后有分数。度量衡的发展大约始于父系氏族社会末期。传说唐帝“设五量”，“少昊同度量，调律吕”。这时的单位尚有因人而异的弊病。《史记·夏本纪》中记载禹“身为度，称以出”，则表明当时已经以名人为标准进行单位的统一，出现了最早的法定单位。商代遗址出土有骨尺、牙尺，长度约合16厘米，与中等身材的人大拇指和食指伸开后的指端距离相当。尺上的分寸刻划采用十进位。 唐：分数产生在什么时候呢？
张：我国的分数记载出现于春秋时代（公元前770年前476年《左传》中，规定了诸侯的都城大小：最大不可超过周文王国都的三分之一，中等的不可超过五分之一，小的不可超过九分之一。秦始皇时代的历法规定：一年的天数为三百六十五又四分之一。在小数出现的时候，并不觉得这是分数。后来有了一般的分数概念，才看到小数是“没有写分母”的分数，其分母由位置确定。
唐：古代的教学史对我们现代的教学也是有一定的启示的，有一种关系可能是值得我们思考的，就是既然分数可以和小数互化，那么已经有了小数，何必还要学习分数呢？
张：问题就在于实际的需要，小数是运算比较方便，很容易看得出来它的大小，但是无限循环小数的加减乘除非常麻烦。因此，分数运算
必须单独学习。反过来，只学分数不学小数也不行。因为小数是十进位的，比较实用。尤其是比较两个小数的大小，无论是有限小数还是无限循环小数，用“字典顺序”比较，一目了然。不像面对两个分数，要比较它们的大小比较困难。所以说，它们各有各的好处。
唐：小数和分数在具体的问题当中各有各的好处，通过刚才我们讨论小数与分数的关系，也正是印证了张老师最前面讲的一句话，让我们总体把握，做到心中有数。 6．算法多样化的思考
唐：讨论完了数以后，我想在数与代数当中另外一大块就是计算，或许电视机前的老师和我们一样，现在一提起计算，脑子里就会反映出一个新的词，叫做“算法多样化”，这也正是我们新课程改革以来，一直倡导的一种理念，
张老师你是怎样看“算法多样化”这种理念的？
张：算法，就是计算方法。随着计算机时代的到来，计算机可以做各种各样的事情，但是计算机都是按照算法运行的，所以算法的重要性不言而喻。所以《新课标》提出算法的意义，也提出了算法的多样性也是非常必要的。而小学提倡算法多样化，目的在于重视算法，创造性地运用算法。
唐：“算法多样性”是一种好的理念，但是在具体的实施过程中，我们又会碰到怎样的问题呢？我来举一个例子：28×15，两位数乘两位数。
学生可能使用的其他方法，至少有以下四种：
① 28×15＝28×（10＋5） ② 28×15＝28×5×3 ＝28×10＋28×5 ＝140×3 ＝420 ＝420
③ 28×15＝15×4×7 ④ 28＝30－2 ＝60×7 28×15＝30×15－2×15 ＝420 ＝420
一位同学是把15分拆成10＋5，然后利用乘法分配律计算出结果，另外一位同学是把28分成4×7，然后先用15和4相乘得到60，然后再乘以7也得到420的结果。还有同学是把15分成5×3，然后再来相乘算出结果。有同学把28看成是30-2的差，再和15相乘。
当然，在计算的过程当中有一种基本的方法，就是竖式计算的方法。
首先是常规的竖式计算。 28 × 15 ---------- 140 28 --------
420 这么多的算法，张老师你怎么看？
张：算法可以多样化，但是必须选择一种作为基础。竖式计算方法，就是大家的首选。这是无数的人，经过挑选之后确定下来的，无论在国内还是国外都是一样的。竖式算法是基本技能，基本算法。它的特点是程序化、机械化，按部就班，能够对付任何位数、任何形式的自然数的加减乘除运算。这个算法虽然显得笨重一点，也不够简便，但它是最基本的，我们必需把基本的先掌握好。将来多项式相乘也是这样操作。我们把这类算法，称作通性通法。它永远行得通，算得出。其它的算法都在它的基础上灵活运用，随机应变。
唐：这种通性通法也有算起来不够迅速、快捷的缺点，而上面指出的学生的一些简便算法，是一种针对特殊问题的特殊算法，属于“巧算”一类，不能适用一般情形。我们使用这些特殊算法，有助于提高计算效率，培养个人的计算特点，增强数学的创新能力。张老师你认为课堂上出现的多种多样的方法，是否需要 “优化”？
张：竖式计算是笨办法，但永远有效。但是，我们每个人都有自己的个性，肯定也有一些自己喜欢的个性的算法。相对而言其他算法更加巧妙，但要随机应变，没有普遍性。实际上如果把上面的四种方法比较一下就可以发现，有两种算法其实就是利用乘法分配律，另两种就是凑整的思想，都特别有利于心算。乘法分配律在数学中的作用，有学者认为，相当于人类从石器时代到铁器时代；灵活运用分配律是一种数学技能。所以，我想在提倡算法多样化的时代，一方面要把竖式算法学会，同时也要充分运用一些能使我们计算更加简便、灵活的算法，要把基础和灵活都掌握好。
唐：张老师刚才在讲算法多样化的时候，还特别提到了乘法分配律它特别重要的地位，我想尽管它不是我们算法多样化的一种普遍的规律，但是它的重要性或许会引起大家更多地思考。同时在算法多样化问题上，横式计算方法值得重视。其原理是从高位到低位，与竖式计算相反。例如
28×15 = 20×10 + 20×5 + 10×8+ 5×8 = 200 + 100 + 80 + 40 = 420。
先用两个乘数的十位和十位相乘，再用第一个乘数的十位和第二个乘数的个位相乘，在分别用以第一乘数的个位和第二个乘数的十位相乘，然后再是个位和个位相乘，最后相加。这种横式算法张老师你是怎么看的。
张：横式算法在国外比较盛行，可能是因为它对算理说的比较清楚，它揭示了不同的位数它们所产生的作用。但是它有一个缺点，就是对位比较复杂，在对位的过程中容易出错，所以横式算法还是不如竖式算法哪么有效。横式算法是一种从高位到低位的算法，和中国的珠算加法相同。所以现在国内外一致讨论的结果是竖式算法为主，横式算法为辅来说明算理，再加上各种各样的简便、创造性的一些计算方法，使得“算法多样化”真正成为中国数学教育的一个特色。
唐：刚才张老师讲起来从低位算起还是从高位算起，让我也想起了张天孝老师特别提到的对算法多样化的一种理解，他认为起算点不同也是我们算法多样的一种不同，有的从低位算起有的从高位算起。横式算法在对位的过程中比较容易出现错误，而竖式算法是一种通性通法，从