张：这很重要，这也是中国古代数学“出入相补原理”的具体运用。这种化归的方法就是演绎几何的一部分。就像我们现在从正方形出发到矩形再到三角形这样一种化归的办法就是一种演绎的推理的方法，是演绎几何在小学里的一种表现。现在我们有一个明确的说法叫做化归的思想，这是逻辑框架里面非常重要的一种。在演绎几何的领域里面，学好化归的方法是非常重要的。
3．平移、旋转和对称之间是什么关系
唐：张老师讲到的古代数学中的“出入相补原理”一定会给大家很多的启示，记得吴文俊老师就讲过我们古代数学的辉煌，或许有很多在我们小学数学当中也会有所体现。刚才张老师所讲到思想方法，或许又是值得我们老师探讨的一个新的方面。在我们小学数学教学的过程当中，除了知识和技能以外，我们又渗透率哪些思想方法，是值得我们系列的展开研究和讨论的。
唐：在小学里，为什么要学习平移，旋转和轴对称这些知识？他们之间有怎样的关系？
张：这就是我们刚才所说的第四块－运动几何学，小学里原来就有运动。例如，平行四边形面积，通过三角形的运动，拼成矩形，这就是平移运动。面积在平移运动下面不变，同样，矩形旋转90度，面积也是不变的，这就是面积的特性。所以说运动对于我们小学老师来说并不陌生，大家是经常在那里使用的。
唐： 知道了平移和旋转之后，为什么还要谈轴对称变换呢？这三者之间有没有一种内在的联系，能否举例说明。
张：我想比较详细的来说一说这件事情。大家都知道平移和旋转的概念，至于轴对称，我想大家也是很熟悉的，轴对称的图形非常漂亮，所以大家都很喜欢轴对称的图形，这里要从数学上讲一讲它的原始的价值。（1）一点到另一点的运动，要知道方向和距离；用平移就能实现了。（2）如果是两根一样长的线段（火柴棒），先将一根火柴移动过去，使得火柴头和火柴头重合，但是火柴尾不一定重合，还得转一转才行。（图）
（3）如果是两个一模一样的三角形ABC 和A’B’C’，如何看它们运动过程呢？首先，平移运动使得A和A’重合，然后转动，使得AB和A’B’重合。 这时可能三角形已经重合了，也可能不重合，还需要反射一下才行。（图）
因此，我们在平面上作运动，需要平移、旋转、轴对称三种不同的变换。在小学里我们要学习这三样东西，而这三样东西互相构成一个叫做“刚体运动”，我们小学里面接触它还是很有必要的。
唐：刚在张老师对这3个例子的讲解，把数学发生的很强的驱动性体现出来了，不知电视机前的老师是否听清楚了，我们不妨再来看一下这三幅图。如果一点到另一点的运动，用平移就能实现了。如果是两根一样长的线段，还得转一转才能重合。如果是两个一模一样的三角形，如何看它们运动过程呢？首先要平移，然后旋转一下。这时可能三角形已经重合了，也可能不重合，还需要翻转一下才行。这样就把平移、旋转和对称联系在一起了。这部分内容的学习对后续学习有什么作用？
张：因为这是最简单的运动，接下来还有“相似运动”，“投影运动”等等，平面图形的很多的证明都需要依赖它。运动几何学是一门很大的学问，后续要学习的内容还有很多，但是我们在初步接触，对我们开阔几何的视野，了解几何的内容是很有帮助的。所以新课标把它列为小学数学的内容是很有见地，很有眼光的。
唐：说起来还是为以后的学习打重要的基础。但是还有一个概念在我们教学当中也是常常会碰到的，就是镜面对称是不是轴对称图形？ 张：我看到有些教材或者材料里面说镜面对称就是轴对称，我认为不太妥当。因为轴对称都是在同一个平面当中的两个图形，镜面对称的两个图像不在一个平面内，所以不是平面上的轴对称图形。虽然二者有联系，但毕竟是不同的，我们不能混为一谈。 唐：对，就是有联系，但是也有区别。 4．小学数学为什么要渗透平面坐标思想
唐：小学数学的学习为什么要渗透平面坐标思想？从数学学习的过程和地位来看，它有怎样的地位和作用。
张：各位老师都学过解析几何，所以大家都知道笛卡尔发现解析几何是数学上一个巨大的进步、也是人类历史上一个重大的进步，所以我们在小学中加入坐标几何的内容是非常正确的。我想笛卡尔的重要贡献，就是一个几何的对象，他可以用数来描写，而数所满足的关系就是方程。我们小学里面先学第一步，就是把坐标建立起来，并用数对（x，y）来表示点。把坐标几何放到小学的学习内容中，体现了随着时代的进步，我们小学数学也在发展。
唐：可能电视机前的老师对于解析几何内容慢慢地有些淡忘了，通过张老师这么一说，我们也可以联系起我们教过的一些内容。比如说在平面坐标这个领域当中，确定位置可能是我们首先要学的。那么我们有的疑问就是坐标的核心思想就是确定位置吗？
张：很多的教案都是到此为止，就是认为坐标就是确定位置，这是第一步要做的事情。笛卡尔当时发明坐标，并不是单纯的表示位置，坐标表示位置更多的是地理学上的应用，大家知道，地理学要求用经纬线确定地球表面上的位置，而不是数学光要研究的问题。 数学课程中用平面坐标系确定位置仅仅是学习坐标系知识的初步结果。 更重要的是用坐标来表示几何图形。 例如，两个坐标一样的点， 形成一条直线（y=x 的图像）， 两个坐标都小于或等于10 的点，构成一个边长为10的正方形等等。所以我们甚至建议，大家在讲完坐标之后，让大家说一说两个坐标都一样的点是形成一个怎么样的几何图形，于是发现它是一条直线或者半直线。也可以问两个坐标都小于3的是一个怎样的图形啊，那肯定就是一个正方形。所以不要仅仅停留在用坐标确定位置，应该稍微的引申开去。
唐：刚在张老师也举了两个例子，我们不妨也看看屏幕上的两个例子：如果x＝y的图像就是左边这幅图，如果两个坐标都小于或等于3的，那么他构成的是一个边长是3的正方形，我想用平面坐标不仅能表示位置，而且能表示数学的对象。
三、统计与概率领域的问题讨论 统计数据与概率有什么关系
唐：下面的问题有关统计与概率的学习领域。小学数学一向对统计并不陌生，以前没有概率，平均数、条形统计图，折线统计图、扇形图等等教学，也都可以顺利进行。大家不很清楚的是，为什么统计要和概率放在一起？
张：统计和概论在18世纪以前是没什么关系的，后来就发生了联系，大家不知道有没有注意到在新课标中有这样一条，就是用我们现在的数据去估计和预测一个东西。就像天气预报，是用我们过去的知识，去预测明天的、不知道的知识，这就是统计和概论结合的地方。就是要我们从一个局部去推测、预计整体，这时问题就来了，比如局部的推测究竟准不住啊，能不能代替全部啊。举例来说，如果只研究本班的情形，统计我们班上的期中数学考试的平均分，各个分数段的人数，画直方图，那的确和概率没有关系。问题在于，如果本班是我们县数学教研室抓的点，要从本班成绩推测全县小学5年级学生的期中数学成绩，那就和概率有关了。因为我们会问，本班的数学成绩能够代表全县吗？多大程度上可以代表？在城市的学校能否代表农村？教研试验的点能否代表非实验的点？这就是一个“不确定”的随机问题了。因为未来是不知道的，整体也是不知道的，局部是否具有代表性也是不确定的，所做的估计只是一种随机的现象，这就和概率连在一起了。
唐：对，本班的数学成绩确实能够代表一部分，但是不能完全代表，那么到底在怎样的概率意义上能够代表。