后续学习当中来看，即便我们以后学习多项式的乘法，也是符合这样的道理的。
张：对，以前降幂排列，升幂排列都是按照竖式计算的方法。 唐：也就是说，竖式计算不仅适用于小学，也是后续学习当中都要用到的方法。
唐：说起计算，张老师在你编著的《中国数学双基教学》中，提到双基的一个维度是速度。对于学生的计算，我们是不是要提出一些速度的要求？
张：从国内外的调查来看，中国学生的计算能力特别是心算的能力是被国际公认的。新加坡一个代表团在调查后认为中国学生的心算能力要强于新加坡，当然比美国就更好，这种计算的能力对我们成人后的生活也是非常重要的，所以我们一定要保持中国学生在心算领域的优势。但要注意的是，我们说的心算主要是指100以内或者两位数的加减乘除，过多的则没有必要。速度是我国双基的一个维度。但是对于计算来说，随着计算器的普及，不需要对计算有过高的要求，尤其不要用一些大数目的繁杂的计算来考查学生计算能力。这种机械的劳动还是让机器来做比较好。但是，两位数的加减运算，一位数乘两位数等的心算能力，还是非常重要的，属于“双基”范畴。
唐：我想是不是可以这样理解，我们作为老师去考察学生的计算能力的时候，不要用那种繁杂的、特别大数字的计算题来增加学生计算的难度，而学生对于计算基本的方法是否掌握，是我们所更要关注的。记
得以前张老师也请中西部的一位老师做过这样的调查，或许电视机前的老师会想，中国的计算那么好，是不是也是指我们那里呢？
张：现在小学生的计算能力，张晓霞老师做过一个非常详细的调查，我总的感觉中国的计算能力确实比外国要强很多，或许要求是高了一点。但是因为我们已经有了这样一个传统，丢掉一个传统很容易，但保持一个传统很困难，所以我们应该在保持一个合理的计算速度的基础上进行改革。
唐：我想听了张老师刚才这样的点评以后，我们中西部的老师心里一定会更加自信了，因为我们在计算方面的优势说不定就在你们班里。 7．什么是代数？
唐：刚才我们讨论了数和计算，其实有一个名词或许老师也和我一样有疑问的，叫做“数与代数”，新课标设置了“数与代数”的学习领域。过去的小学里，对于数的认识我们比较熟悉。至于代数，相对来说比较陌生一些。怎么理解代数？
张：代数学的西文名称是algebra，是9世纪阿拉伯数学家花拉子米的一部著作的名称。原意是“还原与对消的科学”。什么叫做对消，大家知道的有正负对消，就是解方程时所谓的移项，所谓还原，就是把本来淹没在方程中的ｘ把它暴露出来，还原了ｘ的本来面目，所以方程是和代数紧密联系的，所以我们一说到代数，就会联系到解方程。 唐：一般在学习方程之前，我们都要先学习“用字母表示数”，方程理论就是“用字母代表数”吗？它们之间到底以一种怎样的关系。
张：单单用文字代表数，还不是代数。例如加法交换率写为： a+b = b+a , 虽然也用文字代表数，却和代数思想方法没有关系。用文字代表数，即设某量为x这样的做法, 只是运用代数方法的第一步。它后面进一步的是“式”的运算，有“式”参与运算就是代数。所以所谓代数，就是把文字代表数往前推一步，可以进行“式”的运算，最后把问题数找出来这样一个过程全部叫做代数。代数思想方法的核心是基于含有x的“式”的运算来求得未知数，最后解决数学问题。从数的运算到“式”的运算，是算术与代数的根本区别。
唐：听得出来就是从“数的运算”到“式的运算”，才是算术与代数的根本区别。这就是说，所谓代数，需要和方程联系在一起。代数的主要内容就是通过文字和数的运算，把方程中的未知数求出来。 唐：小学数学的“代数”内容就是能够部分地解出一元一次方程；ax+b=c。至于ax+b=cx＋d这样的方程小学里解起来还是有些困难。 张：解一般的一元一次方程的通性通法，需要使用负数，没有了负数解方程就不能够完整的体现出来。但是从我们国家的教学情况来看，小学生学习负数还是比较困难的，我们现在的课标也没有把负数放到小学教学的内容里面，那我们应该怎样解方程呢？那就是逆向思维的方法。而逆向思维的方法本质上又是一种算式思维的方法。用逆向思维解方程，是现在小学数学里应该掌握的一部分，接下来就是在中学里进行负数的学习，然后把方程的全部都解出来。在逆向思维解方程中，要做到适可而止，学生能通过一些简单的逆向思维把方程解出来即可，不要搞一些繁难的逆向思维，结果等到将来这些逆向思维都没有用。而且当
学习负数之后，解方程就是程式化的，一步步做下来就是了，根本不需要逆向思维，逆向思维太多了，反而会干扰负数的学习，所以，我们逆向思维的要求应该是适可而止、不要太高。
唐：张老师多次提到适可而止，刚才也讲到负数的概念，其实小学里只是一个简单的涉及，但是不参与运算，所以解方程是就不能运用这方面的知识了。
其实对方程的概念我们也常有争论，关于方程概念的争论也很多。如：x=1。是不是方程？虽然我们说要避免这样的争论，但是老师当看到试卷上有这样的问题时，还是会为此争论不休。张老师你如何看这样的争论。
张：方程的本意就是要求未知数，如果ｘ=1，未知数也求出来了，也就没有方程的问题了，所以我们也就不需要去争论这些问题，比如说０×ｘ＝０是不是方程？ｘ－ｘ＝０是不是方程？这样的问题还有很多，但对我们学习方程知识是没有关系的，所以要把这些形式的问题淡化掉，不要在这些无意义的问题上面进行争论，数学上不可能把所有的问题按照逻辑的关系一一写出来，因为那样做的话过于繁琐，我们只有抓住方程就是一个从等式的关系求未知数这一主要关系，其它一些枝节问题，一些过于形式化的问题则不必过分的关注。正如西南师范大学的老校长陈重穆先生所说需要“淡化形式，注重实质”。
唐：也就是说，对于我们教学来说，我们不要过度的争论是不是方程，而是要讨论怎样解、会不会解这样的方程。我想我们大家一定要牢记刚
才张老师所讲的西南师范大学的老校长陈重穆所讲一句话：“淡化形式，注重实质”，这应该成为我们数学教学的追求。（待续）
注重数学本质，提高数学素养（2）（张奠宙 唐彩斌）(2009-08-07 13:54:06)
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8． 问题解决与应用题的教学
唐：在数学新课程改革中，电视机前的老师会有很大的困惑，就是以前特别熟悉的应用题不见了，取而代之的是解决问题。这两者有怎样的联系？我们应该怎样来处理传承与创新之间的关系？请张老师从数学的角度谈谈这两者之间的关系。
张：数学问题分为两类，一类称为纯数学问题，像歌德巴赫猜想，另一类称为应用问题，像大学里有应用数学专业，可见应用问题是客观存在，似乎不必回避。我们反对的是过去小学数学中那些“矫揉造作”的远离现实，使学生得不到什么教育的应用题。
新的应用题，其情境更有真实性，方法上强调数学模型的建立。条件可以冗余，数据需要取舍，模型需要建立，结果需要验证。像这一些都是过去的应用题所缺乏的。
唐：张老师你也常常提起一个很典型的例子，就是弗赖登塔尔举过的一个例子，你能否再给大家介绍一下。
分类：他山石（教育类）