解答： 解：（1）由正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，可得AA1⊥底面A1B1C1，∴AA1⊥B1F． 由F是正△A1B1C1的A1C1的中点，∴B1F⊥A1C1． 又A1A∩A1C1=A1，∴B1F⊥平面ACC1A1， ∴平面FAB1⊥平面ACC1A1． （2）证明：连接A1B交AB1于G点，连接FG ∵四边形ABB1A1为平行四边形∴A1G=BG 又∵A1F=C1F∴FG∥BC1 又∵FG?平面AFB1 BC1?平面AB1F ∴BC1∥平面AB1F 21
点评： 本题综合考查了正三棱柱的性质、线面垂直与平行的判定与性质、面面垂直的判定定理、三角形的中位线定理、矩形的性质等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力、推理能力． 18．（10分）如图，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于点D、E，又SA=AB，SB=BC，求二面角E﹣BD﹣C的大小．
考点： 专题： 分析： 二面角的平面角及求法． 空间角． 不妨设AB==SA，利用已知和勾股定理可得SB=BC=，AC．在Rt△SAC中，可得∠SCA，SC．利用DE垂直平分SC，可得EC，DC．利用余弦定理可得BD，再利用勾股定理的逆定理可得BD⊥DC．利用线面、面面垂直的性质定理可得BD⊥平面SAC，因此BD⊥DE．于是得到∠EDC是二面角E﹣BD﹣C的平面角． 解答： 解：如图所示． 不妨设AB==SA，则SB=BC=． 22
∵AB⊥BC，∴∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥AC，∴=，∴∠SCA=30°．∴SC=2，=． 222=3． ． =2． ∵DE垂直平分SC，∴在Rt△ABC中，cos∠BCD=在△BCD中，由余弦定理可得：BD=BC+DC﹣2BC?DC?cos∠BCD==2， ∴DB+DC=6=BC． ∴∠BDC=90°． ∴BD⊥DC． ∵SA⊥平面ABC，∴平面SAC⊥平面ABC． ∴BD⊥平面SAC，∴BD⊥DE． ∴∠EDC是二面角E﹣BD﹣C的平面角，且∠EDC=60°． 222点评： 熟练掌握线面、面面垂直的性质定理、二面角的平面角的定义、勾股定理及其逆定理、余弦定理垂直平分线的性质等是解题的关键． 19．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC， E是PC的中点．求证： （Ⅰ）CD⊥AE； （Ⅱ）PD⊥平面ABE．
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考点： 专题： 分析： 解答： 直线与平面垂直的性质；直线与平面垂直的判定． 证明题． （Ⅰ）先证明CD⊥平面PAC，然后证明CD⊥AE； （Ⅱ）要证PD⊥平面ABE，只需证明PD垂直平面ABE内的两条相交直线AE与AB即可． 证明：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，又AC⊥CD，PA∩AC=A， 故CD⊥平面PAC． 又AE?平面PAC，∴CD⊥AE． （Ⅱ）由题意：AB⊥AD， ∴AB⊥平面PAD，从而AB⊥PD． 又AB=BC，且∠ABC=60°， ∴AC=AB，从而AC=PA． 又E为PC之中点，∴AE⊥PC． 由（Ⅰ）知：AE⊥CD，∴AE⊥平面PCD，从而AE⊥PD． 又AB∩AE=A， 故PD⊥平面ABE． 24
点评： 本题考查直线与直线的垂直，直线与平面的垂直，考查直线与平面垂直判定定理的应用，考查空间想象能力． 20．（8分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中底面边长和侧棱长为a，侧面A1ACC1⊥底面△ABC，A1B=（1）求异面直线AC与BC1所成角的余弦值． a．
（2）求证：A1B⊥平面AB1C． 考点： 专题： 分析： 平面与平面垂直的性质；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定． 空间位置关系与距离． （1）如图过点B作BO⊥AC，可得BO⊥侧面ACC1A1，连结A1O，可得A1O⊥底面ABC．根据A1C1∥AC，可得∠BC1A1或其补角为异面直线AC与BC1所成的角． 在Rt△A1BC1中，解三角形求得cos∠BC1A1的值． （2）由四边形ABB1A1为菱形，可得AB1⊥A1B．又由（1）可得A1B⊥AC，利用直线和平面垂直的判定定理证得A1B⊥面AB1C． 25
解答： 解：（1）如图过点B作BO⊥AC，垂足为点O，则由侧面A1ACC1⊥底面△ABC， 可得BO⊥侧面ACC1A1，连结A1O． 在Rt△A1BO中，A1B=∴A1O=a． ，BO=，又AA1=a，AO=，∴△A1AO为直角三角形，∴A1O⊥AC，A1O⊥底面ABC． ∵A1C1∥AC，∴∠BC1A1或其补角为异面直线AC与BC1所成的角． ∵A1O⊥面ABC，AC⊥BO，∴AC⊥A1B，∴A1C1⊥A1B． 在Rt△A1BC1中，A1B=∴BC1=，A1C1=a，． ． ，∴cos∠BC1A1=∴异面直线AC与BC1所成角的余弦值为（2）∵四边形ABB1A1为菱形，∴AB1⊥A1B． 又由（1）可得A1B⊥AC，而AC∩AB1=A，∴A1B⊥面AB1C． 点评： 本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，体现了转化的数学思想，直线和平面垂直的判定定理的应用，属于中档题． 参与本试卷答题和审题的老师有：孙佑中；qiss；maths；muyiyang；yhx01248；wodeqing；刘长柏；caoqz（排名不分先后） 菁优网
2014年10月1日
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