www.TopSage.com 大家网 1 / 22 《2012年高考数学总复习系列》——高中数学必修一 【第一章、集合】
一、基础知识【理解去记】
定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x在集合A中，称x属于A，记为x?A，否则称x不属于A，记作x?A。
例如，通常用N，Z，Q，B，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用?来表示。集合分有限集和无限集两种。
集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如{有理数}，
{xx?0}分别表示有理数集和正实数集。
定义2 子集：对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则A叫做B的子集，记为A?B，例如N?Z。规定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A的子集，则称A与B相等。如果A是B的子集，而且B中存在元素不属于A，则A叫B的真子集。 便于理解：A?B包含两个意思：①A与B相等 、②A是B的真子集 定义3 交集，定义4 并集，
A?B?{xx?A且x?B}.A?B?{xx?A或x?B}.
称为A在I中的补集。
定义5 补集，若定义6 集合
A?I,则C1A?{xx?I,且x?A}{xa?x?b,x?R,a?b}记作开区间(a,b)，集合
{xa?x?b,x?R,a?b}记作闭区间[a,b]，R记作(??,??).
定义7 空集?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 补充知识点 对集合中元素三大性质的理解 （1）确定性
集合中的元素，必须是确定的．对于集合A和元素a，要么a?A，要么a?A，二者必居其一．比如：“所有大于100的数”组成一个集合，集合中的元素是确定的．而“较大的整数”就不能构成一个集合，因为它的对象是不确定的．再如，“较大的树”、“较高的人”等都不能构成集合． （2）互异性
对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．任何两个相同的对象在同一集合中时，只能算作这个集合中的一个元素．如：由a，a组成一个集合，则a的取值不能是0或1． （3）无序性
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2，3组成一个集合，也可以写成1，3，2组成一个集合，它 集合中的元素的次序无先后之分．如：由1，们都表示同一个集合．
【帮你总结】：学习集合表示方法时应注意的问题 （1）注意a与a??a??a?的区别．a是集合?a?的一个元素，而?a?是含有一个元素a的集合，二者的关系是
．
（2）注意?与
?0?的区别．?是不含任何元素的集合，而?0?是含有元素0的集合．
?R?来表示实数集R这一类错误，因为这里
（3）在用列举法表示集合时，一定不能犯用｛实数集｝或
“大括号”已包含了“所有”的意思．
用特征性质描述法表示集合时，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应具备哪些特征性质，从而准确地理解集合的意义．例如：
(x，y)y?x?? 集合中的元素是(x，y)，这个集合表示二元方程y?x的解集，或者理解为曲
线y?x上的点组成的点集；
xxxy?x?? 集合中的元素是x，这个集合表示函数y?中自变量x的取值范围； 中函数值y的取值范围； 集合?yy?x?中的元素是y，这个集合表示函数y?xy?? 集合?中的元素只有一个（方程y?2x），它是用列举法表示的单元素集合．
（4）常见题型方法：当集合中有n个元素时，有2n个子集，有2n-1个真子集，有2n-2个非空真子集。 二、基础例题（必会） 例1 已知正解：
A?yy?x?4x?3，x?R22??，B??y，
y??x?2x?2，x?R2?，求A?B．
∵y?x?4x?3?(x?2)?1≥?122 y??x?2x?2??(x?1)?3≤3，
∴A??y≥y?1?，
B??yy≤3?，
∴A?B??y?1≤y≤3?．
解析：这道题要注意研究的元素（看竖线前的元素），均是y，所以要求出两个集合中y的范围再求交集，
A中的y范围是求表达式的值域、因此此题是表示两个函数值域的集合． 例2 若
A??2，4，a?2a?a?7?32，
12??232B??1，a?1，a?2a?2，?(a?3a?8)，a?a?3a?7?5?2??，且A?B??2，，试求实数a．
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正解：∵A∩B=｛2，5｝，∴由a?2a?a?7?5， 解得 a?2或a??1．
2 当a=1时，a?2a?2?1与元素的互异性矛盾，故舍去a?1；
B??1，0，5，，24?A?B??2，4，5?A?B??2，5? 当a??1时，，此时，这与矛盾，故又舍去a??1； A?B??2，5?A??2，4，5?B??1，3，2，5，25?当a?2时，，，此时满足题意，故a?2为所求．
解析：此题紧紧抓住集合的三大性质：①确定性 ②互异性 ③无序性
三、趋近高考（必懂）
1.（2011.江西卷3.）若f(x)?1log(2x?1)12,则f(x)的定义域为 ( )
A. (?122log1?2x?1??0,?0?2x?1?12,0) B. (?1,0] C. (?12,??) D. (0,??)
【解析】：
?1??x???,0??2?故选A
2.（2011.江苏卷1）已知集合A?{?1,1,2,4},B?{?1,0,2}, 则A?B?_______, 【解析】根据集合交集概念，易得出答案：?－1，2?
3..（2011.广东卷2）．已知集合A?{(x,y)|x,y为实数，且x?y?1}，B?{(x,y)|x,y为实数，且
y?x}，则A?B的元素个数为
22A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】A?B的元素个数等价于圆x?y?1与直线y?x的交点个数，显然有2个交点。故选C
4.（2011.北京卷1）集合P?{x?Z0?x?3},M?{x?Rx2?9}，则PIM= (A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){x|0≤x<3} (D) {x|0≤x≤3} 【解析】：
P??0,1,2?22，
M???3,3??0,1,2? 故选B
，因此P?M?
5.（2011年江苏高考1）设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数a=______________ 方法：将集合B两个表达式都等于3，且抓住集合三大性质。【答案】1.
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x{(x,y)|x26.（2010.湖北卷2.）设集合A= A. 4 B.3 C.2 D.1
4?y216?1}，B={(x,y)|y?3},则A∩B的子集的个数是（ ）
方法：注意研究元素，是点的形式存在，A是椭圆，B是指数函数，有数形结合方法，交于两个点，说明集合中有两个元素，还要注意，题目求子集个数，所以是22=4【答案】A 集合穿针 转化引线（最新） 一、集合与常用逻辑用语
例（2011.四川卷5）5函数，f(x)在点x?x0处有定义是f(x)在点x?x0处连续的
(A)充分而不必要的条件 (B)必要而不充分的条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要的条件
答案：B 【解析】：连续必定有定义，有定义不一定连续。 1.若
p:3x?8x?4?0，q:(x?1)(x?2)?02??，则p是q的（ ）．
（A）充分条件
（C）充要条件
2 （B）必要条件
（D）既不充分又不必要条件
x?23或x?2，
解析：∵p:3x?8x?4?0，即
?p:23≤x≤2 ∴． ∵q:(x?1)(x?2)?0，即x??1或x?2， ∴
?q:?1≤x≤2．
?p??q 由集合关系知：，而
?q??p．
?? ∴p是q的充分条件，但不是必要条件．故选（Ａ）．
x2 2. 若k?R，则“k?3”是“方程k?3 （A）充分条件 （C）充要条件
x2?y2k?3?1表示双曲线”的（ ）．
?y （B）必要条件
（D）既不充分又不必要条件
2 解析：方程k?3 ?(k?3)k(? 二、集合与函数
k?33?)?1表示双曲线
?0kk??3．故选（A）或?．
1.（2011.江西卷4.） 若f(x)?x?2x?4ln,则f'(x)?0的解集为 ( )
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A. (0,??) B. (-1,0)?(2,??) C. (2,??) D. (-1,0) 【解析】：
2.已知集合
P?{yy??x?2，x?R}，Q?{xy??x?2，x?R}2f'?x??2x?2?4x?0,x?x?2x2?0, 故选C
?x?0,??x?2??x?1??0,?x?2，那么P?Q等于（ ）．
（A）（0，2），（1，1） （B）｛（0，2），（1，1）｝ （C）｛1，2｝ （D）
{yy≤2}
y??x?22 解析：由代表元素可知两集合均为数集，又P集合是函数合的实质是函数
y??x?22中的y的取值范围，故P集
的值域．而Q集合则为函数y??x?2的定义域，从而易知
P?Q?{yy≤2}，选（D）．
评注：认识一个集合，首先要看其代表元素，再看该元素的属性，本题易因误看代表元素而错选（Ｂ）或（Ｃ）．
三、集合与方程
1.（2011.广东卷8）．设S是整数集Z的非空子集，如果?a,b?S，有ab?S，则称S关于数的乘法是
封闭的．若T,V是Z
的两个不相交的非空子集，T?V?Z，且?a,b,c?T，有abc?T；?x,y,z?V，有xyz?V，则下列结论恒成立的是
A．T,V中至少有一个关于乘法是封闭的 B．T,V中至多有一个关于乘法是封闭的 C．T,V中有且只有一个关于乘法是封闭的 D．T,V中每一个关于乘法都是封闭的 【解析】若T为奇数集，V为偶数集，满足题意，此时T与V关于乘法都是封闭的，排除B、C
若T为负整数集，V为非负整数集，也满足题意，此时只有V关于乘法是封闭的，排除D 、故选A 2.已知
A?{xx?(p?2)x?1?0，x?R}，B?{xx?0}x?(p?2)x?1?022，且A?B??，求实数p的取值范围．
解析：集合A是方程的解集，
则由A?B??，可得两种情况：
??(p?2)?4?0 ①A??，则由，得 ?4?p?0；
2 ②方程
x?(p?2)x?1?02无正实根，因为
x1x2?1?0，
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